记录Acwing 3625. 幂次方

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快速幂

递归快速幂

typedef long long ll;数据溢出时使用

非递归快速幂

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快速幂

快速幂（Exponentiation by squaring，平方求幂）是一种简单而有效的小算法，它可以以的时间复杂度计算乘方。快速幂不仅本身非常常见，而且后续很多算法也都会用到快速幂。

递归快速幂

刚刚我们用到的，无非是一个二分的思路。我们很自然地可以得到一个递归方程：

计算a的n次方，如果n是偶数（不为0），那么就先计算a的n/2次方，然后平方；如果n是奇数，那么就先计算a的n-1次方，再乘上a；递归出口是a的0次方为1。

递归快速幂的思路非常自然，代码也很简单（直接把递归方程翻译成代码即可）：

//递归快速幂
int qpow(int a, int n)
{
    if (n == 0)
        return 1;
    else if (n % 2 == 1)
        return qpow(a, n - 1) * a;
    else
    {
        int temp = qpow(a, n / 2);
        return temp * temp;
    }
}

注意，这个temp变量是必要的，因为如果不把记录下来，直接写成qpow(a, n /2)*qpow(a, n /2)，那会计算两次，整个算法就退化为了  。

在实际问题中，题目常常会要求对一个大素数取模，这是因为计算结果可能会非常巨大，但是在这里考察高精度又没有必要。这时我们的快速幂也应当进行取模，此时应当注意，原则是步步取模，如果MOD较大，还应当开long long。

 

typedef long long ll;数据溢出时使用

数据多大要用long long呢？因为int是四个字节32位，表示的数的范围是-2147483648 ~ 2147483647[-2^31 ~ 2^31-1]，2后面是有9位数的，也可以简单记忆为他可以表示10的9次方的数，再大一次方就不行了，有些时候你自己都不知道题目的数据超过了int的范围，当错误有时候不知道怎么解决，就是拿不了满分，那就该怀疑数据范围了，可以尝试把int换为 long long。

//递归快速幂（对大素数取模）
#define MOD 1000000007
typedef long long ll;
ll qpow(ll a, ll n)
{
    if (n == 0)
        return 1;
    else if (n % 2 == 1)
        return qpow(a, n - 1) * a % MOD;
    else
    {
        ll temp = qpow(a, n / 2) % MOD;
        return temp * temp % MOD;
    }
}

有时候我们希望定义这样一种变量，它的值不能被改变，在整个作用域中都保持固定。为了满足这一要求，可以使用const关键字对变量加以限定.如 const int MOD=233333

我们经常将 const 变量称为常量（Constant）。创建常量的格式通常为：

const type name = value;

const 和 type 都是用来修饰变量的，它们的位置可以互换，也就是将 type 放在 const 前面：

type const name = value;

但我们通常采用第一种方式，不采用第二种方式。另外建议将常量名的首字母大写，以提醒程序员这是个常量。

 

const用法详解：C语言const的用法详解，C语言常量定义详解 (biancheng.net)

大家知道，递归虽然简洁，但会产生额外的空间开销。我们可以把递归改写为循环，来避免对栈空间的大量占用，也就是非递归快速幂。

非递归快速幂

我们换一个角度来引入非递归的快速幂。还是7的10次方，但这次，我们把10写成二进制的形式，也就是 。

现在我们要计算 ，可以怎么做？我们很自然地想到可以把它拆分为   *实际上，对于任意的整数，我们都可以把它拆成若干个  的形式相乘。而这些，恰好就是  、、……我们只需不断把底数平方就可以算出它们。

我们先看代码，再来仔细推敲这个过程：

//非递归快速幂
int qpow(int a, int n){
    int ans = 1;
    while(n){
        if(n&1)        //如果n的当前末位为1
            ans *= a;  //ans乘上当前的a
        a *= a;        //a自乘
        n >>= 1;       //n往右移一位
    }
    return ans;
}

最初ans为1，然后我们一位一位算：

1010的最后一位是0，所以a^1这一位不要。然后1010变为101，a变为a^2。

101的最后一位是1，所以a^2这一位是需要的，乘入ans。101变为10，a再自乘。

10的最后一位是0，跳过，右移，自乘。

然后1的最后一位是1，ans再乘上a^8。循环结束，返回结果。

这里的位运算符，>>是右移，表示把二进制数往右移一位，相当于/2；&是按位与，&1可以理解为取出二进制数的最后一位，相当于%2==1。这么一等价，是不是看出了递归和非递归的快速幂的关系了？虽然非递归快速幂因为牵扯到二进制理解起来稍微复杂一点，但基本思路其实和递归快速幂没有太大的出入。

关于快速幂 修改自：算法学习笔记(4)：快速幂 - 知乎 (zhihu.com)