数论分块

爱打酱油的剑姬

已于 2022-03-17 21:36:32 修改

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分类专栏：数论文章标签：算法

于 2022-03-16 23:11:00 首次发布

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/weixin_53013914/article/details/123538653

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这篇博客探讨了一种通过数论分块来优化算法时间复杂度的方法。文章以一个具体的例子展示了如何确定连续数值相同的区间，并给出求区间内数字和的代码实现。在给定的代码中，通过迭代找到最优的分块策略，从而减少计算量。这种方法在处理某些特定问题，如Problem-F-Codeforces题目时，能够提高效率。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

例如 n = 20

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

20 10 6 5 4 3 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

一个明显的规律，使得某个区间（区间长度可能为1）有连续的 $\frac{n}{i}$ 数值相同，

把左右的区间块确定，那问题可以得到优化。

结论

已知区间的左端点是L ，那么它的右端点是 $\frac{n}{n/L}$

举例：建设 L = 7 时， n/L = 20/7 = 2 ， n/（n/L） = 20/2 = 10 符合区间 [ 7 , 10 ];

$\sum_{i=1}^{n}[\frac{n}{i}]$ 求区间内的和

int sum = 0;
for(int l=1,r; l<=n ; l=r+1){
    r = n/(n/l);
    sum += (r-l+1) * (n/l);
}

时间复杂（ $O\sqrt{n}$ ）

例题

题目：Problem - F - Codeforces

题目的意思就是左边数字只能减，右边的数字只能加。

我们用数论分块能优化时间；

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int f(int n,int m,int x){
    //((m-1)/x + 1 ) * x - m  这里求出x的倍数和m的最小差值  n-x  是求出 n变成x的次数    
    int ans = (((m-1)/x+1)*x-m) + (n-x);
    return ans;
}
int main()
{
    int t,n,m;
    cin >> t;
    while(t--){
        cin >> n >> m;
        if(n>=m){
            cout << n-m << endl;
            continue;
        }
        int ans = 1e9;
        for(int l=1;l<=n;){
            int x = (m-1)/l;
            int r = (m-1)/x;
            r = min(n,r);
            ans = min(ans,f(n,m,l));
            ans = min(ans,f(n,m,r));
            l = r+1;
        }
        cout << ans << endl;
    }
    return 0;
}