【每日算法】Day 3-3：二分查找算法终极指南——从基础到变种全覆盖（C++实现）-优快云博客

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征服算法核心搜索技术！今日系统解析二分查找的核心思想与六大变种场景，结合大厂高频真题与代码模板，彻底掌握O(log n)高效搜索的底层逻辑。

一、二分查找核心思想

二分查找是基于有序数据集合的搜索算法，通过不断缩小搜索区间快速定位目标，核心特性：

时间复杂度：O(log n)

空间复杂度：O(1)（迭代实现）

前提条件：数据必须有序（可直接有序或间接有序）

适用场景：

有序数组查找
寻找边界值（第一个/最后一个满足条件的位置）
隐式有序问题（旋转数组、山脉数组等）

二、标准二分查找模板

基础实现（左闭右闭区间）

int binarySearch(vector<int>& nums, int target) {
    int left = 0, right = nums.size() - 1; // 闭区间
    while (left <= right) { // 允许相等
        int mid = left + (right - left) / 2; // 防止溢出
        if (nums[mid] == target) return mid;
        else if (nums[mid] < target) left = mid + 1;
        else right = mid - 1;
    }
    return -1; // 未找到
}

关键点解析：

循环条件：left <= right（确保区间有效性）
中间值计算：left + (right - left)/2（避免整数溢出）
区间更新：严格排除不满足条件的半区

三、六大变种场景详解

变种1：寻找左边界（第一个等于目标）

int findLeftBound(vector<int>& nums, int target) {
    int left = 0, right = nums.size() - 1;
    while (left <= right) {
        int mid = left + (right - left)/2;
        if (nums[mid] >= target) right = mid - 1;
        else left = mid + 1;
    }
    // 检查越界及是否找到
    return (left < nums.size() && nums[left] == target) ? left : -1;
}

变种2：寻找右边界（最后一个等于目标）

int findRightBound(vector<int>& nums, int target) {
    int left = 0, right = nums.size() - 1;
    while (left <= right) {
        int mid = left + (right - left)/2;
        if (nums[mid] <= target) left = mid + 1;
        else right = mid - 1;
    }
    // 检查是否找到
    return (right >= 0 && nums[right] == target) ? right : -1;
}

变种3：查找插入位置（LeetCode 35）

int searchInsert(vector<int>& nums, int target) {
    int left = 0, right = nums.size(); // 右开区间
    while (left < right) {
        int mid = left + (right - left)/2;
        if (nums[mid] >= target) right = mid;
        else left = mid + 1;
    }
    return left;
}

变种4：旋转数组搜索（LeetCode 33）

int searchRotatedArray(vector<int>& nums, int target) {
    int left = 0, right = nums.size()-1;
    while (left <= right) {
        int mid = left + (right-left)/2;
        if (nums[mid] == target) return mid;
        
        // 判断哪半边有序
        if (nums[left] <= nums[mid]) { // 左半有序
            if (nums[left] <= target && target < nums[mid]) 
                right = mid-1;
            else 
                left = mid+1;
        } else { // 右半有序
            if (nums[mid] < target && target <= nums[right]) 
                left = mid+1;
            else 
                right = mid-1;
        }
    }
    return -1;
}

变种5：山脉数组找峰值（LeetCode 852）

int peakIndexInMountainArray(vector<int>& arr) {
    int left = 0, right = arr.size()-1;
    while (left < right) {
        int mid = left + (right - left)/2;
        if (arr[mid] < arr[mid+1]) left = mid + 1;
        else right = mid;
    }
    return left;
}

变种6：查找模糊边界（满足条件的最值）

// 示例：找到第一个大于等于target的位置
int findFirstGreaterOrEqual(vector<int>& nums, int target) {
    int left = 0, right = nums.size();
    while (left < right) {
        int mid = left + (right - left)/2;
        if (nums[mid] >= target) right = mid;
        else left = mid + 1;
    }
    return left; // 若越界表示所有元素都小于target
}

四、复杂度与优化策略

场景	时间复杂度	空间复杂度	关键优化点
标准二分查找	O(log n)	O(1)	严格维护区间定义
旋转数组查找	O(log n)	O(1)	分情况讨论有序区间
山脉数组查找	O(log n)	O(1)	利用单调性判断方向
边界查找	O(log n)	O(1)	记录候选值并持续压缩区间

五、大厂真题实战

真题1：搜索二维矩阵

bool searchMatrix(vector<vector<int>>& matrix, int target) {
    int m = matrix.size(), n = matrix[0].size();
    int left = 0, right = m*n - 1;
    while (left <= right) {
        int mid = left + (right - left)/2;
        int val = matrix[mid/n][mid%n];
        if (val == target) return true;
        else if (val < target) left = mid + 1;
        else right = mid - 1;
    }
    return false;
}

题目描述：
矩阵每行从左到右升序，且每行第一个数大于前一行的最后一个数，判断目标值是否存在
代码实现：

真题2：寻找重复数

题目描述：
给定包含n+1个整数的数组，其数字在[1,n]范围内，假设只有一个重复数，找到它
二分解法：

int findDuplicate(vector<int>& nums) {
    int left = 1, right = nums.size()-1;
    while (left < right) {
        int mid = left + (right-left)/2;
        int cnt = 0;
        for(int num : nums) 
            if(num <= mid) cnt++;
        if(cnt > mid) right = mid;
        else left = mid + 1;
    }
    return left;
}