【每日算法】Day 1-3：动态规划从入门到精通——20分钟吃透核心思想（C++实现）-优快云博客

动态规划，结合经典问题+状态转移方程+空间优化，彻底攻克动态规划方法论。

一、动态规划核心思想

动态规划（Dynamic Programming） 是一种通过拆分问题、定义状态、推导状态转移来解决复杂问题的方法，核心特征：

最优子结构：问题的最优解包含子问题的最优解
重叠子问题：不同决策路径包含重复计算步骤

适用场景特征：

求最值问题（最大值/最小值/最优方案数）
存在大量重复计算的暴力递归解法
问题可分解为多阶段的决策过程

二、动态规划四部曲

1. 定义状态（关键步骤）

明确dp[i][j]的含义（如：dp[i]表示前i个元素的最优解）
状态维度选择：一维/二维/多维（根据问题复杂度决定）

2. 构建状态转移方程

找出状态间递推关系（数学表达式）
典型形式：dp[i] = max(dp[i-1], dp[i-2] + arr[i])

3. 初始化边界条件

处理初始值（如dp[0]=0或dp[0][0]=1）
处理越界情况（如负索引或超出数组范围）

4. 确定遍历顺序与优化

选择正向/反向遍历
空间压缩（滚动数组、状态复用）

三、经典问题详解（附C++代码）

例题1：爬楼梯问题（LeetCode 70）

问题描述：每次可爬1或2阶台阶，求到达第n阶的方法数
状态定义：dp[i]表示到达第i阶的方法数
转移方程：dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
空间优化：只用三个变量滚动计算

int climbStairs(int n) {
    if(n <= 2) return n;
    int a=1, b=2, c;
    for(int i=3; i<=n; ++i){
        c = a + b;
        a = b;
        b = c;
    }
    return b;
}

例题2：背包问题（0-1背包模板）

问题描述：容量W的背包，N件物品（重量weight，价值value），求最大价值
状态定义：dp[i][w]表示前i件物品在容量w下的最大价值
转移方程：
dp[i][w] = max(dp[i-1][w], dp[i-1][w-weight[i]] + value[i])
空间优化：逆序一维数组

int knapsack(int W, vector<int>& wt, vector<int>& val) {
    vector<int> dp(W+1, 0);
    for(int i=0; i<wt.size(); ++i){
        for(int w=W; w>=wt[i]; --w){ // 逆向遍历
            dp[w] = max(dp[w], dp[w - wt[i]] + val[i]);
        }
    }
    return dp[W];
}

例题3：最长公共子序列（LCS，大厂高频题）

问题描述：求两个字符串的最长公共子序列长度
状态定义：dp[i][j]表示text1前i个字符与text2前j个字符的LCS长度
转移方程：

$dp[i][j] = \begin{cases} dp[i-1][j-1] + 1 & \text{if } text1[i-1] = text2[j-1] \\ \max(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) & \text{otherwise} \end{cases}$

int longestCommonSubsequence(string text1, string text2) {
    int m=text1.size(), n=text2.size();
    vector<vector<int>> dp(m+1, vector<int>(n+1, 0));
    for(int i=1; i<=m; ++i){
        for(int j=1; j<=n; ++j){
            if(text1[i-1] == text2[j-1])
                dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1;
            else
                dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1]);
        }
    }
    return dp[m][n];
}

四、大厂真题实战解析

真题1：最小路径和

题目描述：
给定m×n网格，每个格子有非负整数，求从左上到右下的最小路径和（每次只能向右或向下）
状态转移方程：

int minPathSum(vector<vector<int>>& grid) {
    int m=grid.size(), n=grid[0].size();
    for(int i=1; i<m; ++i) grid[i][0] += grid[i-1][0];
    for(int j=1; j<n; ++j) grid[0][j] += grid[0][j-1];
    for(int i=1; i<m; ++i)
        for(int j=1; j<n; ++j)
            grid[i][j] += min(grid[i-1][j], grid[i][j-1]);
    return grid[m-1][n-1];
}

真题2：编辑距离

题目描述：
给定两个单词，计算将word1转换为word2所需的最少操作次数（插入/删除/替换）
关键转移方程：

// 当字符不同时：取三种操作的最小值 +1
dp[i][j] = min({dp[i-1][j], dp[i][j-1], dp[i-1][j-1]}) + 1;

五、动态规划优化技巧

优化方法	适用场景	效果体现
滚动数组	状态仅依赖前1~2行	空间复杂度降维
状态压缩	状态可用位运算表示	空间复杂度指数级降低
备忘录剪枝	存在大量无效状态	减少计算量
预处理边界	复杂的初始化条件	简化代码逻辑
改变遍历顺序	空间优化后保持正确性	避免状态污染