网络流建模题目

P4043支线剧情
题意：每一条边至少要被走一次用的最小费用是多少

该题很明显是需要求这张图的最小费用可行流（就是满足所有边的流量上下限制，同时费用最小）

该题用的上下界无源汇网络流，每条边的下界为1，上界为inf
费用就为所消耗的时间

对于原图中每一个点（包括源汇）u,令d[u]代表u点的所有入边的流量下界减去出边的流量下

新建完图流量是不守恒的，所以我们需要补流
如果d[u]是负数，那么从u连一条边(u,T,0,-d[u])到T

如果d[u]是正数，那么从S连一条边(S,u,0,d[u])到u

其中每个点都可以直接退出游戏，所以我们可以设一个ss点为n+1；
ss向1连一条inf的边，每个点都向ss连一条inf的边
对于原图的每一条边直接连一条边费用为W，容量为inf；
跑一边最小费用流i，然后加上每条边的至少要走一次的值即可

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=100010,inf=1e8;
int e[N],ne[N],w[N],f[N],idx,h[N];
int d[N],incf[N],q[N],pre[N];
int n,m,S,T;
bool st[N];
int a[N];


void add(int a,int b,int c,int d)
{
    e[idx]=b,ne[idx]=h[a],w[idx]=d,f[idx]=c,h[a]=idx++;
    e[idx]=a,ne[idx]=h[b],w[idx]=-d,f[idx]=0,h[b]=idx++;
}

bool spfa()
{
    memset(d,0x3f,sizeof d);
    memset(incf,0,sizeof incf);
    int hh=0,tt=1;
    d[S]=0,q[0]=S;
    incf[S]=inf;
    while(hh!=tt)
    {
        int t=q[hh++];
        if(hh==N) hh=0;
        st[t]=false;
        for(int i=h[t];~i;i=ne[i])
        {
            int j=e[i];
            if(d[j]>d[t]+w[i]&&f[i])
            {
                d[j]=d[t]+w[i];
                incf[j]=min(f[i],incf[t]);
                pre[j]=i;
                if(!st[j])
                {
                    st[j]=true;
                    q[tt++]=j;
                    if(tt==N) tt=0;
                }
            }
        }
    }return incf[T]>0;
}

int EK()
{
    int cost=0;
    while(spfa())
    {
        int t=incf[T];
        cost+=t*d[T];
        for(int i=T;i!=S;i=e[pre[i]^1])
        {
            f[pre[i]]-=t;
            f[pre[i]^1]+=t;
        }
    }return cost;
}

int main()
{
    scanf("%d",&n);
    memset(h,-1,sizeof h);
    S=0,T=n+2;
    int tot=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        int k;
        scanf("%d",&k);
        if(!k)
        {
            add(k,n+1,inf,0);
        }
        for(int j=0;j<k;j++)
        {
            int x,y;
            scanf("%d%d",&x,&y);
            a[i]--,a[x]++;//i少进入了c，x少出去了c
            add(i,x,inf,y);
            tot+=y;
        }
    }
    add(n+1,1,inf,0);
    for(int i=2;i<=n;i++)
    add(i,n+1,inf,0);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    if(a[i]>0) add(S,i,a[i],0);
    else if(a[i]<0) add(i,T,-a[i],0);
    
    printf("%d\n",EK()+tot);
    return 0;
}

P4313 文理分科
最小割的模型，当时做的时候建图太傻逼了

这是一个很典型最小割模型；
我们有两种选择：文科和理科；
我们可以让S流向文科，理科连接T，容量为所选的值；
如果我们选择的文科，图中选择理科的边就会被割掉

如果我们选择的理科，图中选择理科的边就会被割掉

点相邻选向相同的是怎么选择呢？
对于额外收益，新建一个点( i , j ) ’，向( i , j )和相邻四个点各连一条容量为无穷的边
同时选理科的额外收益同理

每个最小割对应一种方案

答案就是sum-最小割

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=4000010,inf=1e8;
int e[N],ne[N],w[N],f[N],h[N],idx;
int q[N],cur[N],d[N];
int m,n,S,T;
int dx[]={0,0,1,0,-1};
int dy[]={0,1,0,-1,0};

void add(int a,int b,int c)
{
    e[idx]=b,ne[idx]=h[a],f[idx]=c,h[a]=idx++;
    e[idx]=a,ne[idx]=h[b],f[idx]=0,h[b]=idx++;
}

int get(int x,int y)
{
    return (x-1)*m+y;
}

bool bfs()
{
    memset(d,-1,sizeof  d);
    d[S]=0,cur[S]=h[S];
    int hh=0,tt=0;
    q[0]=S;
    while(hh<=tt)
    {
        int t=q[hh++];
        for(int i=h[t];~i;i=ne[i])
        {
            int j=e[i];
            if(d[j]==-1&&f[i])
            {
              d[j]=d[t]+1;
              cur[j]=h[j];
              if(j==T) return true;
              q[++tt]=j;
            }
        }
    }return false;
}

int find(int u,int limit)
{
    if(u==T) return limit;
    int flow=0;
    for(int i=cur[u];~i&&flow<limit;i=ne[i])
    {
        int j=e[i];
        cur[u]=i;
        if(d[j]==d[u]+1&&f[i])
        {
            int t=find(j,min(f[i],limit-flow));
            if(!t) d[j]=-1;
            f[i]-=t,f[i^1]+=t,flow+=t;
        }
    }return flow;
}

int dinic()
{
    int r=0,flow;
    while(bfs() ) while(flow=find(S,inf) ) r+=flow;
    return r;
}

int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    memset(h,-1,sizeof h);
    S=0,T=(n*m)*3+1;
    int tot=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
     for(int j=1;j<=m;j++)
     {
         int x;
         scanf("%d",&x);
         add(S,get(i,j),x);
         tot+=x;
     }
      for(int i=1;i<=n;i++)
     for(int j=1;j<=m;j++)
     {
         int x;
         scanf("%d",&x);
         tot+=x;
         add(get(i,j),T,x);
     }
    for(int i=1;i<=n;i++)
     for(int j=1;j<=m;j++)
     {
         int a;
         scanf("%d",&a);
         add(S,get(i,j)+n*m,a);
         tot+=a;
         for(int k=0;k<=4;k++)
         {
             int x=i+dx[k],y=j+dy[k];
             if(x<1||x>n||y<1||y>m) continue;
             add(get(i,j)+n*m,get(x,y),inf);
         }
     }
     for(int i=1;i<=n;i++)
     for(int j=1;j<=m;j++)
     {
         int a;
         scanf("%d",&a);
         add(get(i,j)+n*m*2,T,a);
         tot+=a;
         for(int k=0;k<=4;k++)
         {
             int x=i+dx[k],y=j+dy[k];
             if(x<1||x>n||y<1||y>m) continue;
             add(get(x,y),get(i,j)+n*m*2,inf);
         }
     }
     printf("%d\n",tot-dinic());
    return 0;
}