Floyd（多源最短路）证明 + 输出路径

最新推荐文章于 2025-03-16 21:10:21 发布

宇智波一打七~

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分类专栏：图论学习日记算法题目

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因为Dijkstra算法求的是到起点的最短路，但是但是咱们有时候需要求任意两个点之间的最短路，这时候写n遍Dijkstra就会特别麻烦，咱们有位名叫Floyd的大佬就用动态规划的思想创造了Floyd算法，下面看一下这个算法具体的代码

void floyd(){
    for (int k = 1; k <= n;k++)
        for (int i = 1; i <= n;i++)
            for (int j = 1; j <= n;j++)
                d[i][j] = min(d[i][j], d[i][k] + d[k][j]);
}

那么这么简单的代码是怎么推过来的呢

假设d[k][i][j]表示从i点只经过1-k这些中间点到j点的最短距离，那么
d[k][i][j] = min(d[k-1][i][j],d[k-1][i][k] + d[k-1][k][j])
那么第一维也可以去掉，至于为什么会去掉呢，现在就我和我同学的讨论来简述一下吧，大家都知道，dp优化掉一维
的做法是屡见不鲜的，从01背包到最长不下降子序列，仿佛哪个dp都能优化掉一维一样，我一开始看y总说把数组优
化掉一维的时候是很懵逼的，真的不明白为啥这个状态没更新删了去就没事，现在随着做题量上去点了也有点领悟了
这个就类似于滚动数组，你用完这个状态后可能就没用了，就比如说这个Floyd算法的d[k][i][j]吧，咱们都是从
k-1给转移过来的，那么k-2呢，是不是就没用了，以后也不会用了，因为咱们最后要的是d[n][i][j]，所以说就可以
把k-2的状态给用到k的状态上来，就类似于废物利用吧，然后优化一维的前提是这个状态是k-1的，那么咱们把前面
的一维去掉之后这个递推式子就变成了d[i][j] = min(d[i][j],d[i][k] + d[k][j]),再空间上是减小了不少的空
间复杂度的，但是这个式子为什么会正确呢，我想到了一种情况就是前面的一维不是k-1的情况，就是假如现在的k是
3，i是1，j是3，现在的d[1][3]已经从d[k-1][1][3]更新成为了d[k][1][3]了，但是又是为什么都这样了算法得出
的结果还是正确的呢，不妨想想，d[k][i][j] < d[k-1][i][j]，所以说用前者来更新不就更好了吗，因为
d[k][i][j]表示的是从i号点到j号点中间只经过1~k号点的最短距离，d[k-1][i][j]表示的是从i号点到j号点中间只
经过1~k-1号点的最短距离中间的这些点是不包括起点和终点的，那么根据这个状态的表述，d[k][i][k]和
d[k-1][k][j]是可以接起来的，而且是比原来的更好的，这里可以看作是小贪一波哈哈哈，就转移过去了，而且后面
的d[i][k]和d[k][j]一定是动态更新的，假设i到j的最短路径上的点的序号的最大值是x，当k=x遍历完后，这个
d[i][j]就更新完了，这就是我的理解，可能有些不对的地方，还请大家批评指正
最终的结果就是d[i][j] = min(d[i][j],d[i][k] + d[k][j])

应用

这个floyd算法不仅可以算多源最短路，而且他还能判断负环，就是先把每个dis[i][i]设置成0，如果有负环的话，某个点的最后的值就会小于0，可以看一下这个题

Wormholes

在探索他的许多农场时，农民约翰发现了一些惊人的虫洞。虫洞是非常奇特的，因为它是一个单向路径，送你到它的目的地的时间，是在你进入虫洞之前！FJ 的每个农场都包括N （1 ≤ N ≤ 500）字段，方便编号为 1.。N， M （1 ≤ M ≤ 2500）路径，和 W （1 ≤ W ≤ 200）虫洞。

由于FJ是一个狂热的时间旅行的球迷，他想做以下：从某个领域开始，通过一些路径和虫洞旅行，并在他最初离开前一段时间回到起跑场。也许他能:)见到自己。

为了帮助 FJ 了解这是否可能，他将向您提供其农场F（1 ≤ F ≤ 5）的完整地图。没有路径将需要超过 10，000 秒的行程，没有虫洞可以使 FJ 回到时间超过 10，000 秒。

输入

行 1：单个整数， F.F农场描述如下。
每个农场的1号线：三个空间分离整数：N、M和W
线2。每个农场的M+1：分别描述三个空间分离数字（S、E、T）：S 和E之间的双向路径，需要T秒才能穿越。两个字段可能通过多个路径连接。
行M+2.。每个农场的M+W+1：分别描述三个空间分离数字（S、 E、 T）：从S到E的单向路径，也将旅行者向后移动T秒。

输出

行1.。F：对于每个农场，如果 FJ 能够实现他的目标，则输出"是"，否则输出"否"（不包括报价）。

示例输入

2
3 3 1
1 2 2
1 3 4
2 3 1
3 1 3
3 2 1
1 2 3
2 3 4
3 1 8

样本输出

NO
YES

提示

对于农场 1，FJ 无法及时返回。
对于农场 2，FJ 可以在 1->2->3->1 周期前返回时间，在他离开前 1 秒返回起点位置。他可以从周期的任何地方开始完成这个任务。

这个题的意思就是说存在虫洞可以穿越到以前，问有没有可能过了一段时间以后再回到现在这个时间之前的时间点，那么咱们可以把过了一段时间这个时间看成正权边，把虫洞看成负权边，然后找有没有负权回路就行了，我自己用的是spfa算法判断的负环，现在先提供一种用Floyd算法判断负环的代码

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
using namespace std;

const int INF = 0x3f3f3f3f;
const int MAXV = 1000;
int n, m, w;
int dis[MAXV][MAXV];
int flag;

bool Floyd() {//核心代码
	for (int k = 1; k <= n; k++) {
		for (int i = 1; i <= n; i++) {
			for (int j = 1; j <= n; j++)
				if (dis[i][k] + dis[k][j] < dis[i][j]) {
					dis[i][j] = dis[i][k] + dis[k][j];
				}
			if (dis[i][i] < 0) {
				return true;
			}
		}
	}
	return false;
}
int main() {
	int f;
	scanf("%d", &f);
	while (f--) {
		scanf("%d%d%d", &n, &m, &w);
		memset(dis,0x3f,sizeof dis);
		for(int i = 1; i <= n; i ++ )
			dis[i][i] = 0;
		int u, v, val;
//		for (int i = 1; i <= m; i++) {//正权边
//			scanf("%d%d%d", &u, &v, &val);
//			if(dis[u][v] > val) dis[u][v] = dis[v][u] = val;
//		}
		for(int i=1; i<=m; i++) { //输入正权边
			scanf("%d%d%d",&u,&v,&val);
			if(dis[u][v]>val) {
				dis[u][v]=val;
				dis[v][u]=val;
			}
		}
		for (int i = 1; i <= w; i++) {//负权边
			scanf("%d%d%d", &u, &v, &val);
			dis[u][v] = -val;
		}
		if (Floyd()) puts("YES");
		else puts("NO");
	}
	return 0;
}

下面看一下纸我写的spfa算法吧

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<queue>
using namespace std;
const int N = 510,M = 2510*2,W = 210;
int w[N][N]; 
bool st[N];
int cnt[N],dis[N];
int n,m,f;
queue<int> q;
bool spfa() {
	memset(dis, 0x3f, sizeof dis);
	while(!q.empty()) q.pop();
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		q.push(i);
		st[i] = true;
	}
	while (q.size()) {
		int t = q.front();
		q.pop();
		st[t] = false;
		for(int i=1;i<=n;i++){
			if(w[t][i] != 0x3f3f3f3f){
				if(dis[i] > dis[t] + w[t][i]){
					dis[i] = dis[t] + w[t][i];
					cnt[i] = cnt[t] + 1;
					if(cnt[i] >= n) return true;
					if(!st[i]){
						st[i] = true;
						q.push(i);
					}
				}
			}
		}
	}
	return false;
}
int main() {
	int T;
	scanf("%d",&T);
	while(T--) {
		scanf("%d%d%d",&n,&m,&f);
		memset(cnt,0,sizeof cnt);
		memset(w,0x3f,sizeof w);
		for(int i=1; i<=m; i++) {
			int a,b,c;
			scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
			if(w[a][b] > c){
				w[a][b] = w[b][a] = c;
			}
		}
		for(int i=1; i<=f; i++) {
			int a,b,c;
			scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
			c = -c;
			if(w[a][b] > c) w[a][b] = c;
		}
		if(spfa()) puts("YES");
		else puts("NO");
	}
	return 0;
}

Floyd输出路径

核心代码

for(int k=1;k<=n;k++)
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=1;j<=n;j++)
			if(dis[i][j] > dis[i][k] + dis[k][j]){
				dis[i][j] = dis[i][k] + dis[k][j];
				path[i][j] = k;
			}

这个k相当于一个中间点，就是 i 到 j 的最短路，那该怎么输出最短路呢

初始化pre[i][j]= j;
int u = st;//st是起点,end是终点
while(u != pre[u][end]){
cout << u << endl;
u = pre[u][end];
}
cout << u << endl;

这个就是不断的更新起点，然后有很多个中间点，一个一个的找，最后就找到终点了，为什么最后找到的是终点呢，是因为一开始咱们初始化了呀