DP:01背包问题

 

背包问题，我们按集合的方法来看，f [ i ] [ j ] 表示选择i个物品，当前最大的容量为j，那么我们可以把这个问题分成两个补集，一个是选择了第i个物品的集合，另一个是没有选择第i个物品的集合。

 

注意，f [ i ] [ j ]指的是，选择最多i件物品以及最大容量为j的情况下的最优解。我们从f[0] [0]开始，进行从小到大的动态规划。

具体看代码实现以及注释：

 

import java.util.*;
import java.io.*;
//import java.Math.*;
​
class Main{
  public static int N = 1010;
  public static int f[][] = new int[N][N];
  public static int v[] = new int[N];
  public static int w[] = new int[N];
  
  public static void main (String [] args) throws IOException{
    //输入数据
    BufferedReader br = new BufferedReader( new InputStreamReader (System.in));
    String [] nm = br.readLine().split(" ");
    int [] NM = new int [2];
    NM[0] = Integer.parseInt(nm[0]);
    NM[1] = Integer.parseInt(nm[1]);
    for (int i = 1 ; i<=NM[0] ; i++){
      nm = br.readLine().split(" ");
      v[i] = Integer.parseInt(nm[0]);
      w[i] = Integer.parseInt(nm[1]);
    }
    
    //算法步骤
      
    //初始化
    for(int i = 0 ; i<N ; i++){
      for(int j = 0 ; j<N ; j++){
        f[i][j] = 0;
      }
    }
    //判断
    for(int i = 1 ; i<=NM[0] ; i++){
      for(int j = 1 ; j<=NM[1] ; j++){
        //假设我们没有选择第i件物品
        f[i][j] = f[i-1][j];
        //假设我们选择了第i个物品，但是我们选择第i个物品有个前提，那就是j一定要大于等于v[i]，毕竟我们需要用f[i-1][j-v[i]]+w[i]来表示选择了第i个物品的价值
        //f[i-1][j-v[i]]+w[i]表示的是选择了第i件物体的总体价值，f[i-1][j-v[i]]表示的就是当我们没有选择第i个物体时，所能带走的最大价值(毕竟i小了1，j小了第i个物体的体积)而当我们加上w[i]的时候，就正好表示了选择了第i个物体，又正好填满整个容量的情况下的价值。
        //我们最后取一个最大值，就得到了答案
        if(j>=v[i])f[i][j] = Math.max(f[i][j],f[i-1][j-v[i]]+w[i]);
      }
    }
      
    System.out.println(f[NM[0]][NM[1]]);
  }
}