背包DP | 01背包问题

01背包问题：有n件物品，每一件物品的重量为 w[ i ]，价值为 c[ i ]。现有一个容量为V的背包 (背包的最大承重为V)，问如何选取物品放入背包，使得背包内物品的总价值最大，最大为多少？

---

       如果采用暴力枚举法，每一件物品有两种选择：放入背包 / 不放入背包。因此 n 件物品有  种选择结果。时间复杂度为  太糟糕了。而是用动态规划问题可以大大降低时间复杂度！

---

1、算法分析 

       令 dp[ i ] [ j ] 表示在前 i 件物品中选取部分物品，能放入背包容量为 j （可以不装满）的最大价值（最优解）。其中：。那么如何求解最优解呢？下面考虑对第 i 件物品的选择策略：

情况1：j < w[ i ]

• 不可能放入放第 i 件物品：那么问题就转化为前 i - 1 件物品恰好装入背包容量为 j 的最优解

情况2： j >= w[ i ]

• 不放第 i 件物品：那么问题就转化为前 i - 1 件物品恰好装入背包容量为 j 的最优解
• 放第 i 件物品：那么问题就转化为为前 i - 1 件物品恰好装入背包容量为 j - w[ i ] 的最优解 + c[ i ]

状态转移方程如下：

1. 当 i = 0 或 j = 0（边界条件） ：
2. 当 

• ： 
• ：

最终答案就储存在 dp[n][V] 中。

---

2、过程示例

对于n = 5， V = 10 的情况 :

最终的答案就是 dp[5][10] = 19 

---

代码实现

#include <algorithm>
using namespace std;
#define MAXN 100
#define MAXV 100

/* 01背包问题：有n件物品，没意见的物品重量为 w[ i ]，价值为 c[ i ]。
 * 现有一个容量为V的背包 (背包的最大承重为V)，问如何选取物品放入背包，
 * 使得背包内物品的总价值最大，最大为多少？ */

int fun(int n, int v, int w[], int c[]) {
    int dp[MAXN][MAXV] = {0};
    for (int i = 1; i <= n; i++)  //i为当前可选物品
        for (int j = 1; j <= v; j++) {  //j为最大容量
            if (w[i] > j)
                dp[i][j] = dp[i - 1][j];
            else
                dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - w[i]] + c[i]);
        }
    return dp[n][v];
}

---

3、时间复杂度分析

       虽然说使用了动态规划，但是其实其理论上依旧是一个指数时间的算法。01背包问题是一个NP完全问题，至今未能找到指数时间的算法实现~

---

        注意：《算法笔记》书上对dp数组的定义是 dp[ i ] [ j ] 表示在前 i 件物品中选取部分物品，恰能放入背包容量为 j （必须装满）的最大价值。本质区别就在于，讨论的情况是否装满！这个代码效率会高一点，但是理解起来有难度...还没想通...总觉得有点毛病..先不整理了（给自己挖个坑🕳在这......

---

---

有任何问题欢迎评论交流，如果本文对您有帮助不妨点点赞，嘻嘻~ 

---

end 

欢迎关注个人公众号“ 鸡翅编程 ”，这里是认真且乖巧的码农一枚。

---- 做最乖巧的博客er，做最扎实的程序员 ----

旨在用心写好每一篇文章，平常会把笔记汇总成推送更新~