方格取数（线性dp）

最新推荐文章于 2025-01-31 16:38:15 发布

星期三和我有仇

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分类专栏：算法笔记文章标签：动态规划算法 c++ java

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/weixin_51867853/article/details/121895144

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这是一个关于求解从方格图左上角到右下角的最大路径和问题，采用动态规划算法。给定一个N×N的方格图，部分方格含有正整数，目标是找到两条路径，使得取走的数字之和最大。输入包含方格的大小和数值信息，输出是最大和。题目提供C++和Java两种语言的解题思路。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

方格取数

设有 N×N 的方格图，我们在其中的某些方格中填入正整数，而其它的方格中则放入数字0。
某人从图中的左上角 A 出发，可以向下行走，也可以向右行走，直到到达右下角的 B 点。

在走过的路上，他可以取走方格中的数（取走后的方格中将变为数字0）。

此人从 A 点到 B 点共走了两次，试找出两条这样的路径，使得取得的数字和为最大。

输入格式

第一行为一个整数N，表示 N×N 的方格图。

接下来的每行有三个整数，第一个为行号数，第二个为列号数，第三个为在该行、该列上所放的数。

行和列编号从 1 开始。

一行“0 0 0”表示结束。

输出格式

输出一个整数，表示两条路径上取得的最大的和。

数据范围

N≤10

输入样例：

8
2 3 13
2 6 6
3 5 7
4 4 14
5 2 21
5 6 4
6 3 15
7 2 14
0 0 0

输出样例：

算法：动态规划

题目分析：

在这里插入图片描述

C++版

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstring>

using namespace std;

const int N = 15;
int w[N][N], f[N * 2][N][N];
int n, r, c, v;

int main()
{
    cin >> n;
    while(cin >> r >> c >> v)
    {
        w[r][c] = v;
    }
    for(int k = 2; k <= 2 * n; k++)
    {
        for(int i1 = 1; i1 <= n; i1++)
        {
            for(int i2 = 1; i2 <= n; i2++)
            {
                int j1 = k - i1, j2 = k - i2;
                if(j1 >= 1 && j1 <= n && j2 >= 1 && j2 <= n)
                {
                    //判断两条线路是否重合，重合加一条，未重合加两条
                    int t = w[i1][k - i1]; 
                    if(i1 != i2) t += w[i2][k - i2];
                    //状态转移
                    int& p = f[k][i1][i2];
                    p = max(p, f[k - 1][i1][i2 - 1]);
                    p = max(p, f[k - 1][i1][i2]);
                    p = max(p, f[k - 1][i1 - 1][i2]);
                    p = max(p, f[k - 1][i1 - 1][i2 - 1]);
                    p += t;
                }
            }
        }
    }
    cout << f[2 * n][n][n] << endl;
    return 0;
}

Java版

由于数据较小用Scanner读入

import java.util.*;

class Main
{
    static final int N = 15;
    static int[][] w = new int[N][N];
    static int[][][] f = new int[2 * N][N][N];
    static int n, r, c, v;
    
    public static void main(String[] args)
    {
        Scanner in = new Scanner(System.in);
        n = in.nextInt();
        while(true)
        {
            r = in.nextInt();
            c = in.nextInt();
            v = in.nextInt();
            if(r == 0 && c == 0 && v == 0) break;
            w[r][c] = v;
        }
        for(int k = 2; k <= n + n; k++)
        {
            for(int i1 = 1; i1 <= n; i1++)
            {
                for(int i2 = 1; i2 <= n; i2++)
                {
                    int j1 = k - i1, j2 = k - i2;
                    if(j1 <= n && j1 >= 1 && j2 <= n && j2 >= 1)
                    {
                        int t = w[i1][j1];
                        if(i1 != i2) t += w[i2][j2];
                        f[k][i1][i2] = Math.max(f[k][i1][i2], f[k - 1][i1][i2]);
                        f[k][i1][i2] = Math.max(f[k][i1][i2], f[k - 1][i1 - 1][i2]);
                        f[k][i1][i2] = Math.max(f[k][i1][i2], f[k - 1][i1][i2 - 1]);
                        f[k][i1][i2] = Math.max(f[k][i1][i2], f[k - 1][i1 - 1][i2 - 1]);
                        f[k][i1][i2] += t;
                    }
                }
            }
        }
        System.out.println(f[2 * n][n][n]);
    }
}