算法提高——树状数组例题+分析+代码

TralSun

已于 2023-01-10 11:46:53 修改

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分类专栏：算法笔记文章标签：算法 c++ 数据结构

于 2023-01-09 19:08:33 首次发布

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文章介绍了如何使用差分数组和树状数组来高效地处理区间更新和查询操作。在处理整数数组时，通过差分数组可以快速计算连续子数组的和，而树状数组则允许动态更新和查询。文中提供了C++代码示例，展示了这两种数据结构的应用。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

例题一个简单的整数问题

思路

数组大小为 $10^5$ ，因为要更新区间，所以要利用差分数组。因为要求某个 $a_i$ ，所以把所有的差相加就是答案。

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 1e5 + 200;

int a[N], bt[N];
int n, m;
int lowbit(int x) {
    return x & (-x);
}

void add(int p, int x) {
    for (int i = p; i <= n; i += lowbit(i)) {
        bt[i] += x;
    }
}

ll sum(int p) {
    ll res = 0;
    for (int i = p; i; i -= lowbit(i)) {
        res += bt[i];
    }
    return res;
}
int main() {
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        cin >> a[i];
        add(i, a[i] - a[i - 1]);
    }
    while (m--) {
        char op;
        cin >> op;
        if (op == 'Q') {
            int x;
            cin >> x;
            cout << sum(x) << '\n';
        }
        else {
            int a, b, c;
            cin >> a >> b >> c;
            add(a, c);
            add(b + 1, -c);
        }
    }
    return 0;
}

例题一个简单的整数问题2

思路

既要更新区间，又要求某一个区间的和，所以用树状数组的话，就要玩点骚操作。我们要先想办法求出[1,p]的区间和，然后任意区间和做差即可。

公式推导

a[]表示原数组，b[]表示a数组的差分数组。
因为
$a_1=b_1$
$a_2=b_1+b_2$
$a_3=b_1+b_2+b_3$
…
$a_n=b_1+b_2+b_3+...+b_n$
怎么求 $\sum_{i=1}^na_i$ 呢？

//我们可以先把下面堆式子补成一个完整的矩阵。

b1
b1+b2
b1+b2+b3
...
b1+b2+b3+...+bn
//通过这堆式子：
b1+b2+b3+...+bn
   b2+b3+...+bn
      b3+...+bn
...
             bn
//补成的矩阵：

b1+b2+b3+...+bn
b1+b2+b3+...+bn
b1+b2+b3+...+bn
...
b1+b2+b3+...+bn
//共n+1行

所以求和公式如下,即用完整的矩阵减去新加的式子
$sum(n)=(n+1)*(b_1+b_2+...+b_n)-(b_1+2b_2+3b_3+...+nb_n)$

定义

$b t 1 [i]$ ，存储的是 $a [i] - a [i - 1]$ ,即 $b_i$
$b t 2 [i]$ ，存储的是 $i * (a [i] - a [i - 1])$ ,即 $i*b_i$

代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 1e5 + 200;
int a[N];
int n, m;
ll bt1[N], bt2[N];

int lowbit(int x){
    return x & -x;
}

void add(ll bt[], int p, ll x) {
    for (int i = p; i <= n; i += lowbit(i)) {
        bt[i] += x;
    }
}

ll sum(ll bt[], int p) {
    ll res = 0;
    for (int i = p; i; i -= lowbit(i)) {
        res += bt[i];
    }
    return res;
}

ll prefix_sum(int x) {
    return sum(bt1, x) * (x + 1) - sum(bt2, x);
}
int main() {
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        cin >> a[i];
        add(bt1, i, a[i] - a[i - 1]);
        add(bt2, i, (ll)i * (a[i] - a[i - 1]));
    }
    while (m--) {
        char op;
        cin >> op;
        if (op == 'Q') {
            int l, r;
            cin >> l >> r;
            cout << prefix_sum(r) - prefix_sum(l - 1) << '\n';
        }
        else {
            int l, r, d;
            cin >> l >> r >> d;
            add(bt1, l, d);
            add(bt1, r + 1, -d);
            add(bt2, l, l * d);
            add(bt2, r + 1, -(r + 1) * d);
        }
    }
    return 0;   
}

现有 $a [i]$ 表示第 $i$ 头牛前面有 $a [i]$ 头牛比第 $i$ 头牛高，从后往前推。由于身高只有 $1 - n$ ，所以第 $i$ 头牛的身高是剩下的身高中第 $a [i] + 1$ 小的，确定完第i头牛的身高后，把该身高删除。
我们可以设计一个树状数组，其原型是 $b [N]$ ，每个元素值为 $1$ ，若被删除则为 $0$ 。那么剩余身高中，第 $k$ 小的身高就是当 $s u m [i] = k$ 时的 $i$ 。 $s u m [i]$ 的下标 $i$ 代表的是牛真正的身高， $s u m [i]$ 表示的是在 $[1, i]$ 的身高中，有多少头牛还在，没有被删除。

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 1e5 + 300;
int n, a[N];
int bt[N];
int lowbit(int x) {
    return x & -x;
}
void add(int p, int x) {
    for (int i = p; i <= n; i += lowbit(i)) {
        bt[i] += x;
    }
}
int sum(int p) {
    int res = 0;
    for (int i = p; i; i -= lowbit(i)) {
        res += bt[i];
    }
    return res;
}
int bs(int x) {//二分查找剩余身高中第 x 小的身高
    int l = 1, r = n;
    while (l < r) {
        int mid = l + r >> 1;
        if (sum(mid) < x) {
            l = mid + 1;
        }
        else {
            r = mid;
        }
    }
    return l;
}
int main() {
    cin >> n;
    add(1, 1);
    for (int i = 2; i <= n; ++i) {
        add(i, 1);
        cin >> a[i];
    }
    int ans[N];
    for (int i = n; i; --i) {
        int p = a[i] + 1;//在剩下的数中，找到第 p 小的数
        ans[i] = bs(p);
        add(ans[i], -1);
    }
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        cout << ans[i] <<"\n";
    }
    return 0;
}