2021-09-25

#数论与代数第一章

##简单乘法的实现（迭代版本）

//c++
int multiply(int a, int b)
{
	int i = 0;
	int value=0;
	while (b != 0)
	{
		int c = 0;
		if(b%2==1)
		{ 
				c = a * pow(2,i);
				value = value + c;
		}
		b = int(b / 2);
		i++;
	}
	return value;
}

##整除性：设a，b，c∈Z，如果a|b，b|c，则a|c，如果c|a，c|b，则对任意m，n∈Z，有c|（ma+mb）
证明：
a|b：b=qa
b|c：c=kb
将上式代入下式：c=（qk）a，即证c|a

c|a：a=qc，ma=mqc
c|b：b=kc，nb=nkc
两式相加：ma+nb=（mq+nk）c，即证c|（ma+nb）

##（除法定理）对任意给定的整数a和b，其中b>0,存在唯一的整数对q（商）和r（余数，使得
a=qb+r
且0<=r<b
证明：
① 存在性
构造集合S={a-bk:k∈Z且a-bk>=0}
为满足良序定理（自然数的非空子集必然存在一个最小元素），先证S非空：
若0∈S，则S非空
若0∉S,
如果a>=0则k取0时，a-b*0∈S,S非空
如果a<0;则k取2a时，a-b(2a)=a(1-2b),则必可以找到一个b，使得a(1-2b)>=0，所以S非空
由良序定理，存在r=a-bq,即a=bq+r,(r>=0)

仍需证r<b:
假设r>b,有r-b=a-bq-b=a-b(q+1)>0，则a-b(q+1)在S中
但a-b(q+1)<a-bq，说明a-bq不是S中最小的元素，又与“存在一个最小元素（良序定理）相矛盾，
所以假设（r>b）不成立，所以r<b

② 唯一性
假设不唯一，即至少有两组解满足：
a=bq+r(0<=r<b) a=bq’+r’(0<=r’<b)
则bq+r= bq’+r’,不妨假设r’>=r,易得q’<=q,q-q’>=0;化解等式，得b(q-q’)=r’-r,则(r’-r)|b，由b>0, q-q’>=0,得r’-r>=0,且r’-r<=r’<b，所以r=r’,q=q’
所以假设不成立
唯一性得证