线性代数笔记-part1行列式

本文章是关于线性代数的学习笔记。

行列式

全排列和对换

把 n 个不同的元素排成一列， 叫做这 n 个元素的全排列（简称排列）。 n 个不同元素的所有排列的种数$P_n$ 可由下式计算：
$$\begin{array}{r}{P}_n=A_n^n=n!\end{array}$$
对于 n 个不同的元素， 先规定各元素之间有一个标准次序， 于是在这 n 个元素的任一排列中， 当某一对元素的先后次序与标准次序不同时， 就说它构成 1 个逆序。一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数。

逆序数为奇数的排列叫做奇排列， 逆序数为偶数的排列叫做偶排列。

逆序数的计算方法： 不失一般性， 不妨设 n 个元素为 1 至 n 这 n 个自然数， 并规定由小到大为标准次序。设 $p_1{p}_2\cdots p_n$ 为这 n 个自然数的一个排列， 考虑元素 $p_i(i=1,2,\cdots ,n)$，如果比 $p_i$ 大的且排在$p_i$ 前面的元素有 $t_i$个， 就说$p_i$这个元素的逆序数是$t_i$. 全体元素的逆序数之总和
$$\begin{array}{r}t=t_1+t_2+t_3+\cdots +t_n=\sum _{i=1}^n{t}_i\end{array}$$
即是这个排列的逆序数.

在排列中， 将任意两个元素对调， 其余的元素不动， 这种作出新排列的操作叫做对换。特别地，相邻两个元素的对换叫做相邻对换。

定理1：一个排列中的任意两个元素对换， 排列改变奇偶性.

推论：奇排列对换成标准排列的对换次数为奇数， 偶排列对换成标准排列的对换次数为偶数

n 阶行列式的定义

定义： 设有$n^2$个数， 排成 n 行 n 列的数表
$$\begin{array}{r}\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\end{array}$$
作出表中位于不同行不同列的 n 个数的乘积， 并冠以符号$(-1{)}^t$， 得到形如
$$\begin{array}{r}(-1{)}^t{a}_{1p_1}{a}_{2p_2}\cdots a_{n{p}_n}\end{array}$$
的项， 其中 $p_1{p}_2\cdots p_n$为自然数 $1,2,\cdots ,n$的一个排列， t 为这个排列的逆序数. 由于这样的排列共有 n！ 个， 因而形如上式的项共有 n！项. 所有这 n！项的代数和
$$\begin{array}{r}\sum (-1{)}^t{a}_{1p_1}{a}_{2p_2}\cdots a_{n{p}_n}\end{array}$$
称为n 阶行列式， 记作
$$\begin{array}{r}D=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right]\end{array}$$
简记作 det($a_{ij}$) ， 其中数 $a_{ij}$为行列式 D 的(i, j) 元

主对角线以下（上） 的元素都为 0 的行列式叫做上（下） 三角形行列式； 特别， 主对角线以下和以上的元素都为 0 的行列式叫做对角行列式 。

行列式的性质

转置行列式表示为
$$\begin{array}{r}{D}^{\text{T}}=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{21}& \cdots & a_{n1}\\ a_{12}& a_{22}& \cdots & a_{n2}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{1n}& a_{2n}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right]\end{array}$$
性质1：行列式与它的转置行列式相等.

由此性质可知， 行列式中的行与列具有同等的地位， 行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立， 反之亦然

性质2：对换行列式的两行（列） ， 行列式变号

推论：如果行列式有两行（列） 完全相同， 则此行列式等于零.

性质3：行列式的某一行（列） 中所有的元素都乘同一数 k， 等于用数 k 乘此行列式.

推论：行列式中某一行（列） 的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面.

性质4：行列式中如果有两行（列） 元素成比例， 则此行列式等于零.

性质5：若行列式的某一行（列） 的元素都是两数之和， 例如第 i 行的元素都是两数之和
$$\begin{array}{r}D=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{i1}+a_{i1}^{\prime }& a_{i2}+a_{i2}^{\prime }& \cdots & a_{in}+a_{in}^{\prime }\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right]\end{array}$$
则 D 等于下列两个行列式之和：
$$\begin{array}{r}D=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{i1}& a_{i2}& \cdots & a_{in}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{i1}^{\prime }& a_{i2}^{\prime }& \cdots & a_{in}^{\prime }\\ ⋮& ⋮& & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right]\end{array}$$

性质6：把行列式的某一行（列） 的各元素乘同一数然后加到另一行（列） 对应的元素上去， 行列式不变.

行列式按行（列）展开

在 n 阶行列式中， 把(i, j)元 $a_{ij}$所在的第i行和第j列划去后， 留下来的n-1阶行列式叫做(i, j)元$a_{ij}$的余子式， 记作$M_{ij}$ ；记
$$\begin{array}{r}{A}_{ij}=(-1{)}^{i+j}{M}_{ij}\end{array}$$
$A_{ij}$叫做(i, j)元$a_{ij}$的代数余子式

引理：一个 n 阶行列式， 如果其中第i行所有元素除（i， j） 元 $a_{ij}$外都为零， 那么这行列式等于 $a_{ij}$与它的代数余子式的乘积， 即 $D=a_{ij}{A}_{ij}$

定理2：行列式等于它的任一行（列） 的各元素与其对应的代数余子式乘积之和， 即
$$\begin{array}{r}D=a_{i1}{A}_{i1}+a_{i2}{A}_{i2}+\cdots +a_{in}{A}_{in}(i=1,2,\cdots ,n)\end{array}$$
或
$$\begin{array}{r}D=a_{1j}{A}_{1j}+a_{2j}{A}_{2j}+\cdots +a_{nj}{A}_{nj}(j=1,2,\cdots ,n)\end{array}$$
这个定理叫做行列式按行（列） 展开法则. 利用这一法则并结合行列式的性质， 可以简化行列式的计算。

推论 行列式某一行（列） 的元素与另一行（列） 的对应元素的代数余子式乘积之和等于零.即
$$\begin{array}{r}{a}_{i1}{A}_{j1}+a_{i2}{A}_{j2}+\cdots +a_{in}{A}_{jn}=0，i\ne j\end{array}$$
或
$$\begin{array}{r}{a}_{1i}{A}_{1j}+a_{2i}{A}_{2j}+\cdots +a_{ni}{A}_{nj}=0，i\ne j\end{array}$$