[NOIP2000提高组]方格取数（超详细题解）

原题

设有 N*N 的方格图 (N≤9)，我们将其中的某些方格中填入正整数，而其他的方格中则放入数字 0。如下图所示（见样例）:

A（左上角）
 0  0  0  0  0  0  0  0
 0  0 13  0  0  6  0  0
 0  0  0  0  7  0  0  0
 0  0  0 14  0  0  0  0
 0 21  0  0  0  4  0  0
 0  0 15  0  0  0  0  0
 0 14  0  0  0  0  0  0
 0  0  0  0  0  0  0  0
                         B（右下角）

某人从图的左上角的 A 点出发，可以向下行走，也可以向右走，直到到达右下角的 B 点。在走过的路上，他可以取走方格中的数（取走后的方格中将变为数字 0）。
此人从 A 点到 B 点共走两次，试找出 2 条这样的路径，使得取得的数之和为最大。

输入格式

输入的第一行为一个整数 N（表示 N×N 的方格图），接下来的每行有三个整数，前两个表示位置，第三个数为该位置上所放的数。一行单独的 0 表示输入结束。

输出格式

只需输出一个整数，表示 2条路径上取得的最大的和。

输入输出样例

输入 #1
8
2 3 13
2 6 6
3 5 7
4 4 14
5 2 21
5 6 4
6 3 15
7 2 14
0 0 0

输出 #1
67

分析

题意是从数字矩阵的左上角到右下角找两条路径（只可向下或向右走），使路径上的数字之和最大（相交点的数字只算一次）。

看起来就是每步做选择，求总和最大值，典型的分阶段决策问题，很容易想到动规。

不过如果先取一次最大路径、抹掉数字后再取一次最大路径（即两次dp）是错的，可以举一个反例来证明，

9 0 3
0 9 2
0 2 0

最长路径是9+9+2=20，假设这次走的路线是第一行的9、第二行的9和2，那么在第二次走的时候，地图变成

0 0 3
0 0 0
0 2 0

显然最长路径是3，总和为23。

然而这不是最优解，最优解是第一次走第一行的9、第二行的9、第三行的2（仍是20），但第二次可以走第一行的3、第二行的2，得到5，总和达到25。

这个错误的根源在于最长路径可以有很多种路线，有的路线会占用原本最优次长路径中的数字，导致次长路径的价值变小，所以第一次选什么路线是有讲究的，会影响到第二次的路线，违背了动规的无后效性原则，不能两次走。

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那能不能两条路线同时走并用动规解决呢？ 答案是Yes。 我们把状态定义为 dp[y1][x1][y2][x2]表示两条路线分别走到了(x1,y1),(x2,y2)时达到的数字最大值，然后每一次都让两条路线各前进一步，累积路上遇到的数字。那主要问题就是怎么在动规的状态转移考虑路线相交的情况、并去掉相交位置的值？

注意到题目满足两个条件，使得这种状态设定的动规算法可行：

1、只可向右或向下走，意味着只能朝向目标的方向走，不可走回头路或者绕回去，也就不会再回到之前的状态，是个按阶段递进的决策问题，后面的选择不受前面的影响，满足无后效性原则。另外，在每一阶段产生的总和最大值，也必将促成最后结果的总和最大值（局部最优解促成整体最优解），满足最优子结构性质。因此本题满足动规要求。

2、关于对路线相交的处理，两条路线如果发生交叉，必然发生在同一阶段（想想，相交点的x坐标+y坐标=路线1步数=路线2步数），因此可以在单步状态转移中判断路线是否交叉，然后决定加几个值。

很容易设计出状态转移方程：

1. 当 (y1,x1) != (y2, x2) 时，
   dp[y1][x1][y2][x2] = a[y1][x1] + a[y2][x2] + max{dp[y1-1][x1][y2-1][x2], dp[y1][x1-1][y2][x2-1], dp[y1-1][x1][y2][x2-1], dp[y1][x1-1][y2-1][x2]}

2. 当 (y1,x1) = (y2, x2) 时（相交），
   dp[y1][x1][y2][x2] = a[y1][x1] + max{同上}

注：可以限定x1<=x2，让路线1在路线2的左边（除交点），节省计算量，但这不是必需要求。

初始状态：
dp[1][1][1][1] = a[1][1]，其他为-1

目标状态：
dp[n][n][n][n]，即两条路线同时到达终点

迭代时可以按阶段迭代，比较省时间，而不必像其他题解中跑四重循环（优点是好写）。迭代到阶段z时，需计算的状态是{(x1,y1),(x2,y2) | x1+y1=z+1, x2+y2=z+1, x1<=x2}，z从1算起，共n*2-1阶段（两条路线长度一定一致）。

空间复杂度 n 4 （ 可 优 化 到 n 2 ） n^4 （可优化到n^2） n4（可优化到n