米勒拉宾素性检验（代码模板）

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#算法 #c++

本文介绍了一种高效的快速幂算法实现及应用该算法进行素数判断的方法，并给出了线性筛法来寻找一定范围内的所有素数。


typedef long long ll;
ll qpow(ll a, ll n, ll p) // 快速幂
{
    ll ans = 1;
    while (n)
    {
        if (n & 1)
            ans = (__int128)ans * a % p; // 注意！中间结果可能溢出，需要使用__int128过渡
        a = (__int128)a * a % p;
        n >>= 1;
    }
    return ans;
}
bool is_prime(ll x)
{
    if (x < 3) // 特判1，2
        return x == 2;
    if (x % 2 == 0) // 特判偶数
        return false;
    ll A[] = {2, 325, 9375, 28178, 450775, 9780504, 1795265022}, d = x - 1, r = 0;
    while (d % 2 == 0) // 算出d, r 
        d /= 2, ++r;
    for (auto a : A)
    {
        ll v = qpow(a, d, x); // a^d
        // 如果a^d≡0，说明是a是x的倍数；如果a^d≡1或-1，说明这串数接下来一定都是1，不用继续计算
        if (v <= 1 || v == x - 1) 
            continue;
        for (int i = 0; i < r; ++i)
        {
            v = (__int128)v * v % x; // 同样使用__int128过渡
            if (v == x - 1 && i != r - 1) // 得到-1，说明接下来都是1，可以退出了
            {
                v = 1;
                break;
            }
            // 在中途而非开头得到1，却没有经过-1，说明存在其他数字y≠-1满足y^2≡1，则x一定不是奇素数
            if (v == 1)  
                return false;
        }
        if (v != 1) // 查看是不是以1结尾
            return false;
    }
    return true;
}

每次判断素数只需要O（klogn）

线性筛：在O(N)范围内筛出所有素数


void table()
{
    memset(num,-1,sizeof(num));
    for(int i=2;i<N;i++)
    {
        if(num[i]==-1) prim[pn++]=i;
        for(int j=0;j<pn&&i*prim[j]<N;j++)
        {
            num[prim[j]*i]=prim[j];
            if(i%prim[j]==0) break;
        }
    }
}