张量学习（6）：张量代数

1.相等

若两个张量$T=T_{ij}{e}_i{e}_j$和$S=S_{ij}{e}_i{e}_j$相等,即：$T=S$
则对应分量相等，即：
若两个张量在某个坐标系中的对应分量相等，则它们在任何其他坐标系中对应分量也相等。

2.和、差

两个同阶张量$A=A_{ij}{e}_i{e}_j$与$B=B_{ij}{e}_i{e}_j$之和（或差）是另一个同阶张量$T=T_{ij}{e}_i{e}_j$
则

其分量的关系为：

3.数积

张量$A$和一个数$\lambda$（或标量函数）相乘得另一同维同阶张量$T$

其分量的关系为：

4.并积

两个同维不同阶（或同阶）张量$A$和$B$的并积$T$是一个阶数等于$A、B$阶数之和的高阶张量。
设：

则：

其分量关系为：

注意：$AB\ne BA$

5.缩并

若对基张量中的任意两个基矢量求点积，则张量将缩并为低二阶的新张量。

其分量关系为：

若在基张量中取不同基矢量的点积，则缩并的结果也不同。
列如：

推出：


推出：

即：

6.内积

内积$=$并积$+$缩并
例如:$A=A_{ijk}{e}_i{e}_j{e}_k$ 和 $B=B_{lm}{e}_l{e}_m$的一种内积是：

其分量关系为：

7.点积

前张量$A$的最后基矢量与后张量$B$的第一基矢量缩并的结果，记为$A\cdot B$，是最常见的一种内积。

两个二阶张量的点积相当于矩阵乘积

8.双点积

对前、后张量中两对近挨着的基矢量缩并的结果称为双点积，共有两种：
并双点积：

串双点积：

9.并矢

把$K$个独立矢量并写在一起称为并矢量，它们的并积是一个$K$阶张量。
+6
矢量的并积不服从交换律，并矢量中各矢量的顺序不得任意调换。

10.张量乘法运算和结果的阶数

$\Sigma$表示为阶数的和

个人思考：

这九种运算属于张量中最基本的运算，需要熟练的掌握，个人感觉最主要的还是运算过后阶数的改变要熟练。