线性代数一些基础概念

Math

• 线性代数知识点

• 行列式
  

  • 对角线法则 正撇负捺

  • 下/上三角行列式 （副）对角行列式

  • 性质：

    1. 转置：行变列，列变行

    2. 互换行列式的两行/列，行列式变号

       • 推论: 两行/列相同的行列式值为0

    3. 行列式的某一行/列中的所有元素都乘 k，等于k乘此行列式

       • 推论: 行列式中某一行/列的公因子可提到行列式外

    4. 行列式中如果有两行/列元素成比例，则行列式=0

    5. 行列式的某一列/行的元素是两个元素和，则该行列式=两个行列式相加

    6. 把行列式的某行/列的各元素同一倍数后加到另一行/列的对应元素上去，行列式的值不变

• 向量

  • 加法、数乘直接算

• 矩阵

  • 单位矩阵：对角元素为1，其余为0

    恒等变换：不管空间怎么变换都不改变, 保持基向量不变

  • 对角矩阵：除了对角元素外的元素均为0

  • 矩阵转置
    

• 矩阵的基本运算与矩阵的逆

  • 矩阵乘法

    

    2 x 1 + 0 x 1.5 = 2 0 x 1 + 1 x 1.5 = 1.5

    矩阵x矩阵：要求前一个矩阵的列数 = 后一个矩阵的行数

    ​ 得到的矩阵行数为第1个，列数为第2个

    第i行、第j列元素： 第1个矩阵的第i行元素 x 第2个矩阵的第j行元素 ，再相加

    ​

    矩阵的乘积不满足交换律 AB != AB

  • 矩阵的幂： AB为可交换时，幂和普通式子算法相同 eg.（A+B)^{2 = A2+2AB+B2}

  • 转置 同上

  • 矩阵的逆：ed.单位矩阵

    AB = BA = E 则A = B^{-1 B = A-1}

• 矩阵的秩：（= 筛眼的大小） 矩阵的秩rank（A) 越小，得到的图形越小

• 线性方程组

  • 由一个或多个包含相同变量的线性方程组成

• 线性回归算法

• （code)求矩阵的逆与求两向量的内积

• MATLAB

  // 对矩阵A求逆

  A^-1 inv(A)

  // 向量的内积→点乘

  [1 2 3].*[5 7 9]

• Numpy库

  //矩阵A求逆

  import numpy as np
  a = np.array([[1, 2], [3, 4]])

  np.linalg.inv(a)

  //点乘

  import numpy as np

  a = np.array([1,2,3])

  b = np.array([2,2,3])

  np.dot(a,b)