Note04|opencv图像处理入门——图像的卷积操作

图像卷积是一种在数字图像处理中广泛应用的技术，它通过将一个小型矩阵（称为滤波核、卷积核）应用于图像的每一个像素点及其邻域来实现各种效果。

1. 卷积的基本概念

卷积是一种数学运算，用于两个函数 $f$和$g$生成第三个函数，通常表示为$(f\ast g)(t)$，其中$\ast$表示卷积操作。在图像处理中，$f$通常代表输入图像，而$g$是滤波核。卷积的结果是一个新的图像，反映了原始图像经过滤波器处理后的效果。

2. 卷积的数学定义

对于离散二维图像$I(x,y)$和滤波核$H(i,j)$，卷积操作可以定义为：

$(I\ast H)(x,y)={\sum }_i{\sum }_{j}I(x-i,y-j)\cdot H(i,j)$

其中：

• $I(x,y)$是输入图像在位置 $(x,y)$处的像素值。
• $H(i,j)$是滤波核在位置$(i,j)$处的权重。
• $(I\ast H)(x,y)$是卷积结果在位置 $(x,y)$处的新像素值。

在上式中可以看到，卷积会有一个“翻转”过程，在实际实现中，为了简化计算，通常会使用翻转后的滤波核进行卷积，即$H(-i,-j)$。在大多数情况下，滤波核都是对称的，所以这种翻转不会影响最终结果。下图是一个均值滤波核的卷积过程。

在这里可以看到的是，5*5的原始矩阵经过3*3的滤波核的卷积运算，最终得到的是一个3*3的矩阵，明显与原始矩阵的维度不符。为了保持输入输出矩阵的维度，需要在原始矩阵边缘进行一定的填充(padding)。例如，可以在原始矩阵边缘填充1圈0元素，得到一个7*7的矩阵，然后再经过3*3的滤波核的卷积运算，就可以得到5*5的输出矩阵了。

3. 滤波器

滤波过程是图像处理中的一个核心操作，它通过将一个滤波核与图像进行卷积运算来改变图像的频率特性或增强某些特定特征。

3.1 低通滤波器（LPF）

低通滤波器的主要作用是平滑图像，即减少图像中的高频成分（如噪声、边缘等），保留低频成分（如平滑的区域）。从频域的角度来看，低通滤波器允许低频信号通过，而抑制高频信号。低通滤波核的特点：

• 权重分布：低通滤波器的滤波核通常具有中心权重较大，周围权重逐渐减小的特性。这种设计使得滤波器在卷积过程中会更多地保留中心像素的值，同时平均周围的像素值，从而达到平滑效果。
• 归一化：为了确保滤波后的图像亮度保持不变，滤波核的权重之和通常为1（即归一化）。

3.1.1 均值滤波器（Mean）

• 滤波核(3x3)：

  1/9	1/9	1/9
  1/9	1/9	1/9
  1/9	1/9	1/9

• 原理：每个像素的新值是其邻域内所有像素的平均值。这会使得图像变得平滑，但可能会模糊边缘。

3.1.2 高斯滤波器（Gaussian）

• 滤波核(3x3)：

  1/16	2/16	1/16
  2/16	4/16	2/16
  1/16	2/16	1/16

• 原理：高斯滤波器使用高斯函数来定义滤波核的权重，权重随距离中心像素的距离增加而减小。相比均值滤波器，高斯滤波器能够更好地保留图像的边缘信息，同时仍然有效去除噪声。

3.2 高通滤波器（HPF）

高通滤波器的主要作用是增强图像的边缘和细节，即突出图像中的高频成分（如边缘、纹理等），抑制低频成分（如平滑的区域）。从频域的角度来看，高通滤波器允许高频信号通过，而抑制低频信号。滤波核的特点：

• 权重分布：高通滤波器的滤波核通常具有中心权重为负值，周围权重为正值的特性。这种设计使得滤波器在卷积过程中会增强图像中的局部变化（即边缘），同时抑制平滑区域的变化。
• 归一化：为了确保滤波后的图像亮度保持不变，滤波核的权重之和通常为0。

3.2.1 Laplacian算子

• 滤波核(3x3)：

  0	1	0
  1	-4	1
  0	1	0

• 原理：拉普拉斯算子是一种二阶导数算子，它检测图像中的零交叉点，特别适合用于边缘检测。拉普拉斯算子的中心权重为负值，周围权重为正值，因此它可以增强图像中的局部变化（即边缘）。

3.2.2 Sobel算子

• 水平方向滤波核(3x3)：

  -1	0	1
  -2	0	2
  -1	0	1

• 垂直方向滤波核(3x3)：

  -1	-2	-1
  0	0	0
  1	2	1

• 原理：Sobel算子是一种一阶导数算子，它通过计算图像中每个像素的水平和垂直方向的梯度来检测边缘。Sobel算子的中心权重为0，周围权重根据方向不同而变化，因此它可以有效地增强图像中的边缘信息。

3.3 低通滤波器与高通滤波器的对比

特性	低通滤波器（LPF）	高通滤波器（HPF）
主要作用	平滑图像，减少噪声	增强边缘和细节，锐化图像
频率响应	允许低频信号通过，抑制高频信号	允许高频信号通过，抑制低频信号
滤波核特点	中心权重较大，周围权重逐渐减小，权重和为1	中心权重为负值，周围权重为正值，权重和为0
常见应用	噪声去除、图像平滑	边缘检测、图像锐化
对图像的影响	图像变得平滑，边缘模糊	图像变得锐利，边缘增强