数学建模-第四章：差分方程方法

差分方程简介

适用对象

• 事物发展有明显阶段性。
• 如：生物周期、环境周期、经济周期

差分的形态

• 一阶前向差分 $\Delta$$x(i)=x(i+1)-x(i)$
• 一阶后向差分 $\nabla$$x(i)=x(i)-x(i-1)$
• 二阶差分 ${\Delta }^2$$x(i)=$$\Delta$$x(i+1)-$$\Delta$$x(i)$=$x(i+2)-2x(i+1)+x(i)$

差分方程的形态

• 一阶差分方程 $\Delta$$x(i)=f(i,x(i))$
• 二阶差分方程 ${\Delta }^2$$x(i)=f(i,x(i),\Delta x(i))$
• 更一般的形态 $F(i,x(i),x(i+1),x(i+2),...x(i+k))=0$

差分方程的解

• $F(i,x(i),x(i+1),x(i+2),...x(i+k))=0$
• 若向量 x=(x(0),x(1),…x(n)) 让上面的方程成立，则次向量称为差分方程的一个解

1. 一阶线性常系数差分方程 $x(i+1)+ax(i)=b$
   • 若a≠-1,0,则其通解为$x(n)$=C$(-a{)}^n$+$b/(a+1)$
2. 二阶线性常系数差分方程 $x(i+2)+ax(i+1)+bx(i)=r$
   • 若 r=0，有特解 $x^{\ast }$=0
   • 若 r≠0，且a+b+1≠0,有特解 $x^{\ast }$=r/(a+b+1)
     • 差分方程的特征方程 ${\lambda }^2$$+a\lambda +b=0$ 特征根${\lambda }_1$ ${\lambda }_2$
       

差分方程的平衡点和稳定性

• $F(i,x(i),x(i+1),x(i+2),...x(i+k))=0$
• 若有常数a使得F(i,a,a,a…a)=0,则a为差分方程平衡点
• 若差分方程的任意解{x(n)}都满足
  $\underset{n\to \infty }{\lim }x(n)$=a
  • 则称a是稳定的平衡点

差分方程方法建模-种群增长模型

只考虑出生和死亡

• 假设第n个繁殖周期 果蝇总量为x(n)
• 每个繁殖周期生育率r
• 每个繁殖周期死亡率d
• 相邻两个繁殖周期果蝇数量变化 $x(n+1)-x(n)=rx(n)-dx(n)$
• $x(n)=x(0)(1+r-d{)}^n$
• 用最小二乘法算出参数r和d
• 但种群密度增加，增速会放缓，指数增长模型没有考虑环境，资源的限制

考虑资源受限的种群模型

• 补充假设 a、d、p、q均为非负常数
• 生育率r会随总数x(n)增加而减少
  • 设r为减函数 r(x)=a-bx
• 死亡率d会随总数x(n)增加而增加
  • 设d为增函数d(x)=p+qx
• $x(n+1)=[A-Bx(n)]\ast x(n)$
  • A=1+a-p B=b+q
• 观察模型可知，看A-Bx(n)与1的关系 存在临界值A-1/B
  • 果蝇数量少 x(n)<(A-1)/B 果蝇数量递增
  • 果蝇数量多 x(n)>(A-1)/B 果蝇数量递减

考虑年龄因素

• 新增假设，出生后k个周期才能生育
• 从n期到第n+1期新增个体数量，应由n-k个周期的总群总量决定
• $x(n+1)-x(n)=r(1-d{)}^{k}x(n-k)-dx(n)$
• 高阶线性差分方程，求解需要多个阶段的数据

考虑性别因素

• 新增假设：种群中雌性比例为s
• 从n期到第n+1期新增个体数量，应由n个周期雌性个体的数量决定
• $x(n+1)-x(n)=r\ast s\ast x(n)-dx(n)$
• r与s可做调节
• 考虑雌性比例的意义：增加可调节项，更贴近现实

综合考虑年龄和性别因素

• $x(n+1)-x(n)=r\ast s(1-d{)}^{k}x(n-k)-dx(n)$

考虑年龄结构的种群

• 生物不同年龄死亡率不同，繁殖也不同。
• 五年生河虾为例：成年虾直接孵化幼虾，幼虾一年后成年可产卵，五龄产卵之后当年死亡
• 第n年幼虾、一~五龄虾的数量分别为 A(n),B(n),C(n),D(n),E(n),F(n);
• 各年龄段活到下一段的比例 $R_1、R_2...R_5$
• 一到五龄产生幼虾的个数 $S_1、S_2...S_5$
• 不考虑虾的性别结构等
• $A(n)=S_{1}B(n-1)+S_{2}C(n-1)+S_{3}D(n-1)+S_{4}E(n-1)+S_{5}F(n-1)$
• $B(n)=R_{1}A(n-1)$
• $C(n)=R_{2}B(n-1)$
• $D(n)=R_{3}C(n-1)$
• $E(n)=R_{4}D(n-1)$
• $F(n)=R_{5}E(n-1)$
• $M=\left\{\begin{array}{cccccc}O& s_1& s_2& s_3& s_4& s_5\\ R_1& O& O& O& O& O\\ O& R_2& O& O& O& O\\ O& O& R_3& O& O& O\\ O& O& O& R_4& O& O\\ O& O& O& O& R_5& O\end{array}\right\}$
• $X(n)=\left\{\begin{array}{c}A(n)\\ B(n)\\ C(n)\\ D(n)\\ E(n)\\ F(n)\end{array}\right\}$
• $X(N)=MX(n-1)$
• 多维状态转移方程，又称Leslie方程

考虑突发因素-脉冲情况

• 新增假设：每p个周期种群会有μ比例的损失

• $x(n+1)-x(n)=rx(n)-dx(n)-T(n)\mu \ast x(n)$

• $T(n)=\{\begin{array}{l}1,n=pk,k=0,1..\\ 0,其他\end{array}$

• 灭鼠灭蟑通常控制不力导致的养殖出现问题

• 新增假设改为：数量或密度达到M，会有μ比例的损失

• $x(n+1)-x(n)=rx(n)-dx(n)-S(x(n))\mu \ast x(n)$

• $S(n)=\{\begin{array}{l}1,x(n)>=M\\ 0,x(n)<=M\end{array}$

• 比如根绝数量或密度状况灭鼠

兼顾时间和空间维度

• 用于替代偏微方程组
• 污染物的扩散模型

差分方程稳定性建模

• $x(k+1)=f(x(k))$ k趋近于无穷大

平衡点及其稳定性判断准则

• 差分方程x(k+1)=ax(k)+b
  • 平衡点：b/(1-a)
  • 稳定条件：|a|<1
• 差分方程x(k+1)=f(x(k))
  • 平衡点：x=f(x) 的解 $x^{\ast }$
  • 稳定条件：|$f^{\prime }(x^{\ast })$|<1
• 二阶线性差分方程 $x(k+2)+a_{1}x(k+1)+a_{2}x(k)=b$
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