学习记录：js算法（一百二十二）：不同路径

不同路径

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。
机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish” ）。
问总共有多少条不同的路径？

图一：

示例 1：图一
输入：m = 3, n = 7
输出：28

示例 2：
输入：m = 3, n = 2
输出：3
解释：
从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。
1. 向右 -> 向下 -> 向下
2. 向下 -> 向下 -> 向右
3. 向下 -> 向右 -> 向下

示例 3：
输入：m = 7, n = 3
输出：28

示例 4：
输入：m = 3, n = 3
输出：6

思路一

function uniquePaths(m, n) {
    const dp = Array.from({ length: m }, () => Array(n).fill(1));

    for (let i = 1; i < m; i++) {
        for (let j = 1; j < n; j++) {
            dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];
        }
    }

    return dp[m - 1][n - 1];
}

讲解
使用二维DP数组来追踪从起点到网格中每个位置的不同路径数量。

1. 初始化 DP 数组：创建一个 m x n 的二维数组 dp，其中 dp[i][j] 表示到达网格中位置 (i, j) 的不同路径数量。由于机器人只能向下或向右移动，所以网格的第一行和第一列的路径数量都可以直接初始化为 1，因为到达这些位置只有一种路径。
2. 填充 DP 数组：从第二行和第二列开始，对于每个位置 (i, j)，其路径数量等于上方位置 (i-1, j) 和左方位置 (i, j-1) 的路径数量之和，即 dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1]。
3. 返回结果：最后，dp[m-1][n-1] 将会给出到达网格右下角的不同路径数量。