学习记录：js算法（一百一十六）：买卖股票的最佳时机 IV

买卖股票的最佳时机 IV

给你一个整数数组 prices 和一个整数 k ，其中 prices[i] 是某支给定的股票在第 i 天的价格。
设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成 k 笔交易。也就是说，你最多可以买 k 次，卖 k 次。
注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。

示例 1：
输入：k = 2, prices = [2,4,1]
输出：2
解释：在第 1 天 (股票价格 = 2) 的时候买入，在第 2 天 (股票价格 = 4) 的时候卖出，这笔交易所能获得利润 = 4-2 = 2 。

示例 2：
输入：k = 2, prices = [3,2,6,5,0,3]
输出：7
解释：在第 2 天 (股票价格 = 2) 的时候买入，在第 3 天 (股票价格 = 6) 的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 6-2 = 4 。
     随后，在第 5 天 (股票价格 = 0) 的时候买入，在第 6 天 (股票价格 = 3) 的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 3-0 = 3 。

思路一

讲解
我们需要考虑最多可以进行 k 次交易的情况。这个问题可以使用二维动态规划来解决，但同样可以通过优化减少空间复杂度至一维动态规划。

1. 特殊情况处理:
   ○ 如果 k 大于等于 prices 长度的一半，则可以认为可以无限次交易，因为即使是最小的交易也需要两天时间（买入和卖出）。这种情况下，我们可以使用贪心算法来计算最大利润。
2. 动态规划:
   ○ 我们定义一个二维数组 dp，其中 dp[t][d] 表示在第 d 天结束时进行了 t 次交易的最大利润。
   ○ 对于每次交易 t，我们需要找到一个最大的差值 maxDiff，即在第 d 天买入股票之前最大的利润。
   ○ maxDiff 实际上代表了在第 d 天买入股票所能带来的最大利润。
   ○ 初始时，maxDiff 被设置为 -prices[0]，因为我们可以在第一天买入股票。
   ○ 对于每一天 d，我们更新 dp[t][d] 为前一个状态 dp[t][d - 1] 和 prices[d] + maxDiff 中较大的那个值。
   ○ 同时，我们也更新 maxDiff 为 dp[t - 1][d] - prices[d] 和当前 maxDiff 中较大的那个值，这里 dp[t - 1][d] - prices[d] 代表在第 d 天买入股票所能带来的最大利润。

代码实现细节：

1. 特殊情况处理:
   ○ 如果 k 大于等于 prices.length / 2，则使用 maxProfitUnlimited 函数来计算最大利润。
   ○ maxProfitUnlimited 函数通过遍历 prices 数组，每当价格上升时就累加利润。
2. 动态规划初始化:
   ○ 创建一个二维数组 dp，其中 dp[t][d] 用于存储在第 d 天结束时进行了 t 次交易的最大利润。
   ○ 初始化 maxDiff 为 -prices[0]，即第一次买入股票的最大利润。
3. 动态规划状态转移:
   ○ 对于每一次交易 t，从第一天开始遍历每一天 d。
   ○ 更新 dp[t][d] 为 dp[t][d - 1] 和 prices[d] + maxDiff 中较大的那个值。
   ○ 更新 maxDiff 为 dp[t - 1][d] - prices[d] 和当前 maxDiff 中较大的那个值。
4. 返回最终结果:
   ○ 返回 dp[k][n - 1]，即进行了 k 次交易后在最后一天的最大利润。

结合贪心和一维DP：
● 贪心算法:
○ 当 k 大于等于 prices 长度的一半时，我们可以进行无限次交易，这时采用贪心算法，每次价格上升就卖出，累积所有上升段的利润。
● 一维DP:
○ 当 k 小于 prices 长度的一半时，使用一维DP来计算有限次交易的最大利润。
○ DP的状态定义为 dp[t][d]，表示在第 d 天结束时进行了 t 次交易的最大利润。
○ 通过维护一个 maxDiff 来记录在第 d 天买入股票所能带来的最大利润，从而减少空间复杂度。