代码随想录打卡第三十三天

代码随想录–动态规划部分

day 33 动态规划第一天

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前言

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动态规划，英文：Dynamic Programming，简称DP，如果某一问题有很多重叠子问题，使用动态规划是最有效的。

所以动态规划中每一个状态一定是由上一个状态推导出来的，这一点就区分于贪心，贪心没有状态推导，而是从局部直接选最优的

而动态规划也有做法模板：
1、确定dp数组（dp table）以及下标的含义
2、确定递推公式
3、dp数组如何初始化
4、确定遍历顺序
5、举例推导dp数组

这就不同于贪心算法的灵光一现了，具体在题目中就可以慢慢理解

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一、力扣509–斐波那契数

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斐波那契数 （通常用 F(n) 表示）形成的序列称为 斐波那契数列 。该数列由 0 和 1 开始，后面的每一项数字都是前面两项数字的和。给定 n ，请计算 F(n)

确定动态数组dp，并且初始化dp(0) = 0, dp(1) = 1

确定递归方式：F(n) = F(n - 1) + F(n - 2)

正常写就好了

代码如下：

class Solution {
public:
    int fib(int n) {
        if(n <= 1) return n;
        vector<int> dp;
        dp.push_back(0);
        dp.push_back(1);
        for(int i = 2; i <= n; i ++)
        {
            int temp = dp[i-1] + dp[i-2];
            dp.push_back(temp);
        }
        return dp[dp.size() - 1]; 
    }
};

二、力扣70–爬楼梯

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假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。
每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？

考虑如何能够建模成一个动态规划问题

动态数组用来记录第i层楼梯能够使用的方法数量

那么明显有：dp[i] = dp[i-1]+dp[i-2]的关系

因为从第i-1到第i层只有迈一步这一个选项，从i-2到i只有迈两步这一个选项

而同时i-2迈两次一步到达i层这个选择已经包含在dp[i -1]中了

那么初始化要怎么做呢，保证i-2不越界的话，i从2开始，则需要初始化dp[0]和dp[1]

但是压根没有0层这回事，所以实际上从1层开始，dp[1] = 1和dp[2] = 2

就可以写了

代码如下：

class Solution {
public:
    int climbStairs(int n) {
        if(n <= 2) return n;
        vector<int> dp;
        dp.push_back(0);
        dp.push_back(1);
        dp.push_back(2);
        for(int i = 3; i <= n; i ++)
        {
            int temp = dp[i-1] + dp[i-2];
            dp.push_back(temp);
        }
        return dp[dp.size() - 1];
    }
};

三、力扣746–使用最小花费爬楼梯

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给你一个整数数组 cost ，其中 cost[i] 是从楼梯第 i 个台阶向上爬需要支付的费用。一旦你支付此费用，即可选择向上爬一个或者两个台阶。
你可以选择从下标为 0 或下标为 1 的台阶开始爬楼梯。
请你计算并返回达到楼梯顶部的最低花费。

考虑如何构建动态规划问题，即dp数组要记录什么

要求最低花费，那么dp可以用于记录每层的最低消费

即dp[i]代表到达第i层的最低消费

而每次可以选择爬一层或者两层，则dp[i]应当由dp[i-1]和dp[i-2]来决定

实际上是从dp[i-1]+cost[i-1]和dp[i-2] + cost[i-2]中选择一个最小的

那么更新公式就是dp[i] = min(dp[i-1]+cost[i-1], dp[i-2] + cost[i-2])

再考虑dp的初始化，包含i-2，所以i至少是2开始，需要初始化0和1的元素

而由于1和0是起始层，并不需要花费体力，cost[0]和cost[1]分别是说从0层出发和从1层出发需要花费的体力，所以dp[0] = dp[1] = 0

代码如下：

class Solution {
public:
    int minCostClimbingStairs(vector<int>& cost) {
        vector<int> dp;
        dp.push_back(0);
        dp.push_back(0);
        for(int i = 2; i <= cost.size(); i ++)
        {
            int temp = min(dp[i-1]+cost[i-1], dp[i-2] + cost[i-2]);
            dp.push_back(temp);
        }
        return dp[dp.size() - 1];
    }
};