线段树-简记

日月万里风

已于 2025-01-02 11:51:44 修改

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分类专栏： C++题解常用算法文章标签： c++ 算法

于 2024-12-31 10:21:23 首次发布

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【模板】线段树 1

题目链接: 线段树 1

题目描述

如题，已知一个数列，你需要进行下面两种操作：

将某区间每一个数加上 $k$ 。
求出某区间每一个数的和。

输入格式

第一行包含两个整数 $n, m$ ，分别表示该数列数字的个数和操作的总个数。

第二行包含 $n$ 个用空格分隔的整数，其中第 $i$ 个数字表示数列第 $i$ 项的初始值。

接下来 $m$ 行每行包含 $3$ 或 $4$ 个整数，表示一个操作，具体如下：

1 x y k：将区间 $[x, y]$ 内每个数加上 $k$ 。
2 x y：输出区间 $[x, y]$ 内每个数的和。

输出格式

输出包含若干行整数，即为所有操作 2 的结果。

样例 #1

样例输入 #1

样例输出 #1

11
8
20

提示

对于 $30\%$ 的数据： $\le 8$ ， $\le 10$ 。
对于 $70\%$ 的数据： $\le {10}^3$ ， $\le {10}^4$ 。
对于 $100\%$ 的数据： $\le n, m \le {10}^5$ 。

保证任意时刻数列中所有元素的绝对值之和 $\le {10}^{18}$ 。

【样例解释】
在这里插入图片描述

题目解法

1 差分数组

差分数组这里不再解释, 使用差分数组能通过 70% 的测试样例。

2 线段树

线段树: 适用于频繁的对数列进行区间查询和修改

线段树流程

根据数列, 构建线段树。数列规模为 N, 则线段树规模为 4 * N。
更新线段树: 懒标记 + 下放。
区间查询: 递归查询, 如查询区间超出当前节点区间, 注意下放;

示例程序均使用数组完成, 传参较多, 如需简化, 可使用结构体记录线段

程序示例

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define ll long long int

const int N = 1e5 + 5;

int a[N];
ll ans[N << 2], tag[N << 2];

int n, m, x, y, k, f;
// 构建线段树
void build(int p,  int l, int r)
{
	tag[p] = 0;
	if(l == r) {ans[p] = a[r]; return;}
	int mid = (l + r) >> 1;
	build(p << 1, l, mid);
	build(p << 1 | 1, mid + 1, r);
	ans[p] = ans[p << 1] + ans[p << 1 | 1]; // 维护节点
}

void fun(int p, int l, int r, int k)
{
	ans[p] += (r - l + 1) * k;
	tag[p] += k; // lazy_tag
}
// 下放
void push_down(int p, int l, int r)
{
	int mid = (r + l) >> 1;
	fun(p << 1, l, mid, tag[p]);
	fun(p << 1 | 1, mid + 1, r, tag[p]);
	tag[p] = 0;
}
// 更新线段树
void update(int p, int nl, int nr, int l, int r, int k)
{
	// 当前节点区间被待处理区间包围, 懒标记即可
	if(nl <= l && nr >= r) {fun(p, l, r, k); return;}
	// 当前节点区间不能被待处理区间保卫, 需进行懒标记下放
	push_down(p, l, r);
	// 递归处理左右儿子树
	int mid = (l + r) >> 1;
	if(nl <= mid) update(p << 1, nl, nr, l, mid, k);
	if(nr > mid) update(p << 1 | 1, nl, nr, mid + 1, r, k);
	// 处理完毕, 更新答案树
	ans[p] = ans[p << 1] + ans[p << 1 | 1];
}
// 查询
ll query(int nl, int nr, int p, int l, int r)
{
	ll res = 0;
	if(nl <= l && nr >= r) return ans[p];
	int mid = (l + r) >> 1;
	push_down(p, l, r); // 下放
	if(nl <= mid) res += query(nl, nr, p << 1, l, mid);
	if(nr > mid) res += query(nl, nr, p << 1 | 1, mid + 1, r);
	return res;
}

int main()
{
	ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(0); cout.tie(0);
	cin >> n >> m;
	for(int i = 1; i <= n; i++)
		cin >> a[i];
	build(1, 1, n);
	
	while(m--)
	{
		cin >> f;
		if(f == 1)
		{
			cin >> x >> y >> k;
			update(1, x, y, 1, n, k);
		}
		else
		{
			cin >> x >> y;
			cout << query(x, y, 1, 1, n) << '\n';
		}
	}
	return 0;
}

【模板】线段树 2

题目链接: 线段树 2

题目描述

如题，已知一个数列，你需要进行下面三种操作：

将某区间每一个数乘上 $x$ ；
将某区间每一个数加上 $x$ ；
求出某区间每一个数的和。

输入格式

第一行包含三个整数 $n, q, m$ ，分别表示该数列数字的个数、操作的总个数和模数。

第二行包含 $n$ 个用空格分隔的整数，其中第 $i$ 个数字表示数列第 $i$ 项的初始值。

接下来 $q$ 行每行包含若干个整数，表示一个操作，具体如下：

操作 $1$ ：格式：1 x y k 含义：将区间 $[x, y]$ 内每个数乘上 $k$

操作 $2$ ：格式：2 x y k 含义：将区间 $[x, y]$ 内每个数加上 $k$

操作 $3$ ：格式：3 x y 含义：输出区间 $[x, y]$ 内每个数的和对 $m$ 取模所得的结果

输出格式

输出包含若干行整数，即为所有操作 $3$ 的结果。

样例 #1

样例输入 #1

样例输出 #1

17
2

提示

【数据范围】

对于 $30\%$ 的数据： $\le 8$ ， $\le 10$ 。
对于 $70\%$ 的数据：$n \le 10^3 $，$ q \le 10^4$。
对于 $100\%$ 的数据： $\le n \le 10^5$ ， $\le q \le 10^5$ 。

除样例外， $m = 571373$ 。

（数据已经过加强 ^_）

样例说明：
在这里插入图片描述

故输出应为 $17$ 、 $2$ （ $\bmod 38 = 2$ ）。

在下放时注意处理乘法与加法的先后顺序

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define ll long long int

const int  N = 1e5 + 5;

int a[N];

ll mul[N << 2], add[N << 2];

ll sum[N << 2];

int n, m, x, y, k, f, mod;

void push_up(int p) // 计算当前线段 P 的和
{
	sum[p] = sum[p << 1] + sum[p << 1 | 1];
	sum[p] %= mod;
	return;
}

void fun(int p, int l, int r, ll mu, ll ad) // 当前线段 P 接收下放的 乘:mu 和:ad 处理函数
{
	sum[p] = (sum[p] * mu % mod + (r - l + 1) * ad % mod) % mod;
	mul[p] = (mul[p] * mu) % mod;
	add[p] = (add[p] * mu + ad) % mod;	
}

void build(int p, int l, int r) // 创建线段树
{
	add[p] = 0; mul[p] = 1; // lazy_target 的和初始值为 0, 乘初始值为 1
	if(l == r) {sum[p] = a[l]; return;}
	int mid = (l + r) >> 1;
	build(p << 1, l, mid);
	build(p << 1 | 1, mid + 1, r);
	push_up(p);
}

void push_down(int p, int l, int r) // 下放
{
	int mid = (l + r) >> 1;
	fun(p << 1, l, mid, mul[p], add[p]);
	fun(p << 1 | 1, mid + 1, r, mul[p], add[p]);
	add[p] = 0; // 下放后初始化 和与乘
	mul[p] = 1;	
	return;	
}

// 更新 和,  与线段树1相同
void changeadd(int nl, int nr, int p, int l, int r, int k)
{
	if(nl <= l && nr >= r)
	{
		add[p] = (add[p] + k) % mod;
		sum[p] = (sum[p] + (r - l + 1) * k) % mod;
		return;
	}
	int mid = (l + r) >> 1;
	push_down(p, l, r); // 下放
	if(nl <= mid) changeadd(nl, nr, p << 1, l, mid, k);
	if(nr > mid) changeadd(nl, nr, p << 1 | 1, mid + 1, r, k);
	push_up(p); // 更新
}

// 更新 乘, 为计算方便, 将 相应的和也乘以 k
void changemul(int nl, int nr, int p, int l, int r, int k)
{
	if(nl <= l && nr >= r)
	{
		add[p] = (add[p] * k) % mod; // 和系数 * k
		mul[p] = (mul[p] * k) % mod; // 乘系数 更新
		sum[p] = (sum[p] * k) % mod; // 
		return;
	}
	int mid = (l + r) >> 1;
	push_down(p, l, r); // 下放
	if(nl <= mid) changemul(nl, nr,  p << 1, l, mid, k);
	if(nr > mid) changemul(nl, nr, p << 1 | 1, mid + 1, r, k);
	push_up(p); // 更新
}

ll query(int nl, int nr, int p, int l, int r)
{
	ll res = 0;
	if(nl <= l && nr >= r) return sum[p];
	int mid = (l + r) >> 1;
	push_down(p, l, r); // 下放
	if(nl <= mid) res += query(nl, nr, p << 1, l, mid);
	if(nr > mid) res += query(nl, nr, p << 1 | 1, mid + 1, r);
	return res % mod; // 注意结果取模
}

int main()
{
	ios::sync_with_stdio(false); cin.tie(0); cout.tie(0);
	cin >> n >> m >> mod;
	for(int i = 1; i <= n; i++)
		cin >> a[i];
	build(1, 1, n);	
	while(m--)
	{
		cin >> f;
		if(f == 1)
		{
			cin >> x >> y >> k;
			changemul(x, y, 1, 1, n, k);
		}
		else if(f == 2)
		{
			cin >> x >> y >> k;
			changeadd(x, y, 1, 1, n, k);
		}
		else
		{
			cin >> x >> y;
			cout << query(x, y, 1, 1, n) << '\n';
		}
	}	
	return 0;
}

详细细节, 等有空了再写-.-