‘导数‘与‘微分‘的四则运算法则

导数的四则运算法则

1. 和的导数法则：
   $$(f(x)+g(x){)}^{\prime }=f^{\prime }(x)+g^{\prime }(x)$$

2. 差的导数法则：
   $$(f(x)-g(x){)}^{\prime }=f^{\prime }(x)-g^{\prime }(x)$$

3. 积的导数法则（莱布尼茨法则）：
   $$(f(x)\cdot g(x){)}^{\prime }=f^{\prime }(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g^{\prime }(x)$$

4. 商的导数法则：
   $${\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)}^{\prime }=\frac{f^{\prime }(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g^{\prime }(x)}{[g(x){]}^2}$$

微分的四则运算法则

微分与导数的关系密切相关，微分可以通过导数来定义。若 ( y = f(x) )，那么其微分为：
$$dy=f^{\prime }(x)\cdot dx$$

在此基础上，微分的四则运算法则如下：

1. 和的微分：
   $$d(f(x)+g(x))=df(x)+dg(x)$$

2. 差的微分：
   $$d(f(x)-g(x))=df(x)-dg(x)$$

3. 积的微分：
   $$d(f(x)\cdot g(x))=f(x)\cdot dg(x)+g(x)\cdot df(x)$$

4. 商的微分：
   $$d\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)=\frac{g(x)\cdot df(x)-f(x)\cdot dg(x)}{[g(x){]}^2}$$

这些法则是微分和导数的基本运算规则，在求解极值、应用于物理问题等方面有着广泛的应用。理解这些法则对于进一步学习微积分和相关领域非常重要。