文章目录
专升本高数习题83道
1、计算
∫
x
2
(
x
s
i
n
x
+
c
o
s
x
)
2
d
x
\int\frac{x^2}{(xsinx + cosx)^2}dx
∫(xsinx+cosx)2x2dx ？
2、求函数
y
=
8
x
y=8^{x}
y=8x 的反函数
g
(
x
)
g(x)
g(x) ？
3、求函数
f
(
x
)
=
1
+
3
x
f(x)=1+3^{x}
f(x)=1+3x 的反函数
g
(
x
)
g(x)
g(x) ？
4、 求函数
y
=
ln
(
x
+
1
+
x
2
)
y=\ln(x+\sqrt{1+x^2})
y=ln(x+1+x2) 的反函数 ？
5、若函数
f
(
1
+
ln
x
1
−
ln
x
)
=
1
x
f(\frac{1+\ln{x}}{1-\ln{x}})= \frac{1}{x}
f(1−lnx1+lnx)=x1，求
f
(
x
)
f(x)
f(x) ?
6、求
lim
x
→
0
1
+
t
a
n
x
−
1
+
s
i
n
x
x
3
\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{\sqrt{1+tanx}-\sqrt{1+sinx}}{x^{3}}
x→0limx31+tanx−1+sinx ？
7、设在平行四边形中，边
B
C
BC
BC 和
C
D
CD
CD 的中点分别为M、N，且
A
M
→
=
p
\overrightarrow{AM}=p
AM=p、
A
N
→
=
q
\overrightarrow{AN}=q
AN=q ，求
B
C
→
\overrightarrow{BC}
BC、
C
D
→
\overrightarrow{CD}
CD ?
8、求
lim
x
→
1
(
1
1
−
x
−
3
1
−
x
3
)
\displaystyle\lim_{x \to 1}(\frac{1}{1-x}-\frac{3}{1-x^3})
x→1lim(1−x1−1−x33) ？
9、设曲线
y
=
ln
x
y=\ln x
y=lnx 与
y
=
a
x
2
(
a
>
0
)
y=ax^{2}(a > 0)
y=ax2(a>0) 相切于
x
o
x_o
xo 处，求
a
a
a 的值？
10、设函数
f
(
x
)
f(x)
f(x) 在
x
=
0
x=0
x=0 处可导，求
lim
h
→
0
f
(
3
h
)
−
f
(
−
h
)
2
h
\displaystyle\lim_{h \to 0}\frac{f(3h)-f(-h)}{2h}
h→0lim2hf(3h)−f(−h) ？
11、求函数
f
(
x
)
=
sin
1
x
+
cos
x
3
f(x)=\sin\frac{1}{x} + \cos\frac{x}{3}
f(x)=sinx1+cos3x 的最小正周期 ？
12、（1）
f
(
x
+
1
x
)
=
x
2
+
1
x
2
f(x+\frac{1}{x})=x^{2}+\frac{1}{x^{2}}
f(x+x1)=x2+x21，则
f
(
x
)
f(x)
f(x) ？（2）
f
(
x
−
1
)
=
x
2
+
2
x
−
3
f(x-1)=x^{2}+2x-3
f(x−1)=x2+2x−3，则
f
(
x
)
f(x)
f(x) ？
13、求曲线
f
(
x
)
=
(
x
−
1
)
2
3
(
x
+
1
)
f(x)=\frac{(x-1)^{2}}{3(x+1)}
f(x)=3(x+1)(x−1)2 的渐近线？
14、 函数
f
(
x
)
=
lim
x
→
∞
x
2
n
−
1
+
a
x
2
+
b
x
x
2
n
+
1
f(x)=\displaystyle\lim_{x \to \infin}\frac{x^{2n-1}+ax^{2}+bx}{x^{2n}+1}
f(x)=x→∞limx2n+1x2n−1+ax2+bx
(
n
∈
N
+
)
(n \in N^{+})
(n∈N+)，试确定 a、b 的值，使
lim
x
→
1
f
(
x
)
\displaystyle\lim_{x \to 1}f(x)
x→1limf(x) 与
lim
x
→
−
1
f
(
x
)
\displaystyle\lim_{x \to -1}f(x)
x→−1limf(x) 均存在？
15、计算
∫
s
i
n
x
c
o
s
3
x
d
x
\int sinxcos3xdx
∫sinxcos3xdx ？
16、函数
f
(
x
)
f(x)
f(x) 在区间
[
a
,
b
]
[a,b]
[a,b] 上连续，
a
<
x
1
<
x
2
<
x
3
<
b
a < x_1 < x_2 < x_3< b
a<x1<x2<x3<b ， 证明必存在
ξ
∈
[
x
1
,
x
2
]
\xi \in [x_1,x_2]
ξ∈[x1,x2]，使
f
(
ξ
)
=
f
(
x
1
)
+
f
(
x
2
)
+
f
(
x
3
)
3
f(\xi)=\frac{f(x_1)+f(x_2)+f(x_3)}{3}
f(ξ)=3f(x1)+f(x2)+f(x3) ？
17、在区间
(
−
∞
,
+
∞
)
(-\infin, +\infin)
(−∞,+∞) 内，判断函数
f
(
x
)
=
1
2
e
(
1
−
x
)
f(x)=\frac{1}{2}e^{(1-x)}
f(x)=21e(1−x) 的单调性及有界或者无界？
18、若
lim
x
→
x
0
f
(
x
)
=
∞
\displaystyle\lim_{x \to x_0}f(x)=\infin
x→x0limf(x)=∞ ，
lim
x
→
x
0
g
(
x
)
=
∞
\displaystyle\lim_{x \to x_0}g(x)=\infin
x→x0limg(x)=∞ ，则下列中正确为（ ）
A.
lim
x
→
x
0
[
f
(
x
)
+
g
(
x
)
]
=
∞
\displaystyle\lim_{x \to x_0}[f(x)+g(x)]=\infin
x→x0lim[f(x)+g(x)]=∞ B.
lim
x
→
x
0
[
f
(
x
)
−
g
(
x
)
]
=
∞
\displaystyle\lim_{x \to x_0}[f(x)-g(x)]=\infin
x→x0lim[f(x)−g(x)]=∞
C.
lim
x
→
x
0
1
f
(
x
)
+
g
(
x
)
=
0
\displaystyle\lim_{x \to x_0}\frac{1}{f(x)+g(x)}=0
x→x0limf(x)+g(x)1=0 D.
lim
x
→
x
0
k
f
(
x
)
=
∞
(
k
≠
0
)
\displaystyle\lim_{x \to x_0}kf(x)=\infin (k \neq 0)
x→x0limkf(x)=∞(k=0)
19、 计算
lim
n
→
∞
n
+
3
n
−
n
−
n
\displaystyle\lim_{n \to \infin} \sqrt{n+3\sqrt{n}}-\sqrt{n-\sqrt{n}}
n→∞limn+3n−n−n ？
20、利用介值定理证明：当 n 为奇数，方程
a
0
x
n
+
a
1
x
n
−
1
+
⋯
+
a
n
−
1
x
+
a
n
=
0
(
a
≠
0
)
a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\cdots+a_{n-1}x+a_{n}=0 (a \ne 0)
a0xn+a1xn−1+⋯+an−1x+an=0(a=0) 至少有一个实根？
21、计算
∫
s
i
n
x
1
+
s
i
n
x
d
x
\int \frac{sinx}{1+sinx}dx
∫1+sinxsinxdx ？
22、 令
f
(
x
)
=
4
x
3
+
2
x
f(x)=4x^{3}+2x
f(x)=4x3+2x，其反函数
ψ
(
x
)
=
y
\psi(x)=y
ψ(x)=y，求
ψ
′
(
6
)
\psi'(6)
ψ′(6) ？
23、计算
∫
s
e
c
6
x
d
x
\int sec^{6}xdx
∫sec6xdx ？
24、计算
∫
e
x
x
2
−
2
x
−
1
(
x
2
−
1
)
2
d
x
\int e^{x}\frac{x^{2}-2x-1}{(x^{2}-1)^2}dx
∫ex(x2−1)2x2−2x−1dx ？
25、计算
lim
x
→
0
(
1
x
2
−
1
x
c
o
t
x
)
\displaystyle\lim_{x \to 0}(\frac{1}{x^{2}}-\frac{1}{x}cotx)
x→0lim(x21−x1cotx) ?
26、计算
∫
x
+
2
4
x
(
x
2
−
1
)
d
x
\int \frac{x+2}{4x(x^{2}-1)}dx
∫4x(x2−1)x+2dx ?
27、判断级数
∑
n
=
2
n
n
l
n
n
(
l
n
n
)
n
\displaystyle\sum_{n=2}^n \frac{n^{ln n}}{(ln n)^n}
n=2∑n(lnn)nnlnn 的敛散性？
28、函数
f
(
x
)
f(x)
f(x) 在 x=0 处连续，求极限
lim
x
→
0
∫
0
x
(
x
2
−
t
2
)
f
(
t
)
d
t
x
3
\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{\int_{0}^{x}(x^{2}-t^{2})f(t)dt}{x^{3}}
x→0limx3∫0x(x2−t2)f(t)dt ?
29、求过椭圆外一点
(
4
,
−
1
)
(4,-1)
(4,−1) 与椭圆
x
2
6
+
y
2
3
=
1
\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{3}=1
6x2+3y2=1 相切于点
(
x
0
,
y
0
)
(x_0,y_0)
(x0,y0) 的直线方程？
30、函数
y
=
x
c
o
s
x
y=xcosx
y=xcosx 在
(
−
∞
,
+
∞
)
(-\infin,+\infin)
(−∞,+∞) 内是否有界？当
x
→
+
∞
x \to +\infin
x→+∞ 时，函数是否无穷大？为什么？
31、
x
→
x
0
x \to x_0
x→x0时，设
g
(
x
)
g(x)
g(x) 是有界量，
f
(
x
)
f(x)
f(x) 是无穷大，请证明
f
(
x
)
±
g
(
x
)
f(x) \pm g(x)
f(x)±g(x) 是无穷大？
32、设
x
→
x
0
x \to x_0
x→x0 时，
∣
g
(
x
)
∣
\lvert g(x) \rvert
∣g(x)∣
≥
M
\geq M
≥M （M为一个正常的常数），
f
(
x
)
f(x)
f(x) 是无穷大，证明：
f
(
x
)
⋅
g
(
x
)
f(x) \cdot g(x)
f(x)⋅g(x) 是无穷大？
33、设函数
f
(
x
)
=
a
x
+
b
−
l
n
x
f(x)=ax+b-lnx
f(x)=ax+b−lnx 在区间
[
1
,
3
]
[1,3]
[1,3] 上有
f
(
x
)
≥
0
f(x) \geq 0
f(x)≥0，求常数 a、b 使
∫
1
3
f
(
x
)
d
x
\int_{1}^{3}f(x)dx
∫13f(x)dx 的积分值最小？
34、由椭圆
y
2
+
x
2
a
2
=
1
y^{2}+\frac{x^{2}}{a^{2}}=1
y2+a2x2=1 所围成的封闭图形的面积是多少？
35、设函数
f
(
x
)
f(x)
f(x) 在区间
[
a
,
b
]
[a,b]
[a,b] 上为连续正值函数，且
a
<
x
1
<
x
2
⋯
<
x
n
<
b
a < x_1 < x_2 \cdots < x_n < b
a<x1<x2⋯<xn<b ，证明在
[
a
,
b
]
[a,b]
[a,b] 至少存在一点
ξ
\xi
ξ 使
f
(
ξ
)
=
f
(
x
1
)
f
(
x
2
)
⋯
f
(
x
n
)
n
f(\xi)=\sqrt[n]{f(x_1)f(x_2)\cdots f(x_n)}
f(ξ)=nf(x1)f(x2)⋯f(xn) ？
36、证明：当
x
∈
[
0
,
+
∞
)
x \in [0, +\infin)
x∈[0,+∞) 时，
∫
0
x
(
t
−
t
2
)
s
i
n
2
n
t
d
t
≤
1
6
\int_{0}^{x}(t-t^{2})sin^{2n}tdt \leq \frac{1}{6}
∫0x(t−t2)sin2ntdt≤61 ?
37、设函数
f
(
x
)
f(x)
f(x) 与
g
(
x
)
g(x)
g(x) 在区间
[
a
,
b
]
[a,b]
[a,b] 上连续，在区间 (a,b) 上可导，且
g
′
(
x
)
≠
0
g'(x) \ne 0
g′(x)=0，
x
∈
(
a
,
b
)
x \in (a,b)
x∈(a,b) 。证明至少存在一点
ξ
\xi
ξ 使
f
′
(
ξ
)
g
′
(
ξ
)
=
f
(
ξ
)
−
f
(
a
)
g
(
b
)
−
g
(
ξ
)
\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}=\frac{f(\xi)-f{(a)}}{g(b)-g(\xi)}
g′(ξ)f′(ξ)=g(b)−g(ξ)f(ξ)−f(a) ？
38、计算
lim
n
→
∞
(
s
i
n
1
n
+
c
o
s
1
n
)
n
\displaystyle\lim_{n \to \infin}(sin\frac{1}{n} + cos\frac{1}{\sqrt{n}})^{n}
n→∞lim(sinn1+cosn1)n ?
39、判断函数
f
(
x
)
=
x
3
−
x
s
i
n
π
x
f(x)=\frac{x^{3}-x}{sin\pi{x}}
f(x)=sinπxx3−x 的间断点？
40、计算
∫
0
1
ln
(
1
−
x
2
)
d
x
\int_{0}^{1}\ln(1-x^{2})dx
∫01ln(1−x2)dx ?
41、求
d
y
d
x
=
1
2
x
−
y
2
\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2x-y^{2}}
dxdy=2x−y21 的通解？
42、令函数
f
(
x
)
f(x)
f(x) 在区间
[
1
,
+
∞
)
[1,+\infin )
[1,+∞) 上连续，若曲线
y
=
f
(
x
)
y=f(x)
y=f(x)，
x
=
1
x=1
x=1，
x
=
t
(
t
>
1
)
x=t(t > 1)
x=t(t>1) 与X轴所围成的封闭曲线绕X轴一周所成的旋转体体积为
v
(
t
)
=
π
3
(
t
2
f
(
t
)
−
f
(
1
)
)
v(t)=\frac{\pi}{3}(t^{2}f(t)-f(1))
v(t)=3π(t2f(t)−f(1)) ，求
（1）
y
=
f
(
x
)
y=f(x)
y=f(x) 满足的微分方程；
（2）该微分方程满足条件
y
∣
x
=
2
=
2
9
y|_{x=2}=\frac{2}{9}
y∣x=2=92 。
43、函数
f
(
x
)
=
{
a
e
1
x
−
1
,
x
<
1
3
,
x
=
1
2
a
−
b
e
x
,
x
>
1
f(x)=\mathsf{\left\{\begin{array}{c} ae^{\frac{1}{x-1}}, x < 1\\ 3, x=1\\ 2a-be^{x}, x > 1\\ \end{array}\right.}
f(x)=⎩
⎨
⎧aex−11,x<13,x=12a−bex,x>1 在 x=1 处连续，求 a、b ？
44、已知函数
f
(
x
)
=
lim
n
→
∞
x
2
e
n
(
x
+
1
)
+
a
x
+
b
e
n
(
x
+
1
)
+
1
f(x)=\displaystyle\lim_{n \to \infin} \frac{x^{2}e^{n(x+1)+ax+b}}{e^{n(x+1)}+1}
f(x)=n→∞limen(x+1)+1x2en(x+1)+ax+b 处处连续且可求导，求常数 a、b ？
45、计算
∫
−
1
1
∣
x
∣
1
−
x
2
d
x
\int_{-1}^{1}\lvert x \rvert\sqrt{1-x^2}dx
∫−11∣x∣1−x2dx ?
46、已知
f
′
(
e
x
)
=
x
e
−
x
f'(e^x)=xe^{-x}
f′(ex)=xe−x 且
f
(
1
)
=
0
f(1)=0
f(1)=0 ，求
f
(
x
)
f(x)
f(x) ?
47、已知
y
=
x
x
x
y=x^{x^{x}}
y=xxx ，求
y
′
y'
y′ ？
48、计算
(
a
→
×
b
→
)
2
+
(
a
→
⋅
b
→
)
2
(\overrightarrow a \times \overrightarrow b) ^2+ (\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b)^2
(a×b)2+(a⋅b)2 ？
49、若函数
f
(
x
)
f(x)
f(x) 在
[
−
1
,
1
]
[-1,1]
[−1,1] 上连续且满足
f
(
x
)
+
∫
0
1
f
(
x
)
d
x
=
1
2
−
x
3
f(x)+\int_{0}^{1}f(x)dx=\frac{1}{2}-x^{3}
f(x)+∫01f(x)dx=21−x3，求
∫
−
1
1
f
(
x
)
(
1
−
x
2
)
d
x
\int_{-1}^{1}f(x)\sqrt(1-x^{2})dx
∫−11f(x)(1−x2)dx ？
50、求点
P
(
3
,
7
,
5
)
P(3,7,5)
P(3,7,5)关于平面
π
:
2
x
−
6
y
+
3
z
+
42
=
0
\pi: 2x-6y+3z+42=0
π:2x−6y+3z+42=0 的对称点
P
′
P'
P′ 的坐标？
51、求过点
A
(
1
,
−
2
,
5
)
A(1,-2,5)
A(1,−2,5) 且垂直于直线
l
1
:
x
−
2
3
=
y
+
1
1
=
z
−
1
1
l_{1}:\frac{x-2}{3}=\frac{y+1}{1}=\frac{z-1}{1}
l1:3x−2=1y+1=1z−1 ，又与直线
l
2
:
x
+
1
1
=
y
−
3
1
=
z
2
l_{2}:\frac{x+1}{1}=\frac{y-3}{1}=\frac{z}{2}
l2:1x+1=1y−3=2z 相交的直线
l
3
l_3
l3 ？
52、将某一空间直线方程的一般式
{
2
x
+
3
y
=
1
x
−
y
+
2
z
=
3
\begin{cases}2x+3y=1\\x-y+2z=3\\\end{cases}
{2x+3y=1x−y+2z=3 化成点向式？
53、
a
→
=
(
2
,
−
3
,
1
)
\overrightarrow a=(2,-3,1)
a=(2,−3,1)、
b
→
=
(
1
,
−
2
,
3
)
\overrightarrow b=(1,-2,3)
b=(1,−2,3) ，求同时垂直于
a
→
\overrightarrow a
a、
b
→
\overrightarrow b
b 且在
c
→
=
(
2
,
1
,
2
)
\overrightarrow c=(2,1,2)
c=(2,1,2) 上投影为“14”的向量
e
→
\overrightarrow e
e ？
54、令
(
a
→
×
b
→
)
⋅
c
→
=
1
(\overrightarrow a \times \overrightarrow b)\cdot \overrightarrow c=1
(a×b)⋅c=1 ，求
[
(
a
→
+
b
→
)
×
(
b
→
+
c
→
)
]
[(\overrightarrow a + \overrightarrow b)\times(\overrightarrow b + \overrightarrow c)]
[(a+b)×(b+c)]
×
\times
×
(
c
→
+
a
→
)
(\overrightarrow c + \overrightarrow a)
(c+a) ?
55、计算不定积分
∫
x
3
−
2
x
−
x
2
d
x
\int\frac{x}{\sqrt{3-2x-x^{2}}}dx
∫3−2x−x2xdx ？
56、求点
P
(
3
,
−
1
,
2
)
P(3,-1,2)
P(3,−1,2) 到直线
{
x
+
y
−
z
+
1
=
0
2
x
+
y
−
z
−
4
=
0
\begin{cases}x+y-z+1=0\\2x+y-z-4=0\\\end{cases}
{x+y−z+1=02x+y−z−4=0 的距离？
57、求曲线
y
=
x
2
−
x
y=x^{2}-x
y=x2−x 上的一点P，使点P到定点
A
(
0
,
1
)
A(0,1)
A(0,1)的距离最近？
58、证明不等式
∣
a
r
c
t
a
n
x
−
a
r
c
t
a
n
y
∣
≤
∣
x
−
y
∣
\lvert arctanx-arctany\rvert\leq\lvert x-y\rvert
∣arctanx−arctany∣≤∣x−y∣ ？
59、证明不等式
(
a
b
)
a
+
b
2
≤
a
a
b
b
(ab)^{\frac{a+b}{2}} \leq a^{a}b^{b}
(ab)2a+b≤aabb ?
60、已知函数
y
=
1
x
2
+
x
−
2
y=\frac{1}{x^{2}+x-2}
y=x2+x−21 ，求
y
(
n
)
y^{(n)}
y(n) ？
61、令抛物线
y
2
=
x
+
3
y^{2}=x+3
y2=x+3 和直线
x
−
y
=
3
x-y=3
x−y=3 所围成的面积为 D，求：
(1)围成面积的大小？
(2)所围图形绕X轴旋转的体积？
62、令
f
(
x
)
=
∫
1
x
e
−
y
2
d
y
f(x)=\int_{1}^{x}e^{-y^{2}}dy
f(x)=∫1xe−y2dy ，求
∫
0
1
x
2
f
(
x
)
d
x
\int_{0}^{1}x^{2}f(x)dx
∫01x2f(x)dx ?
63、令
a
>
0
a>0
a>0 ，
b
>
0
b>0
b>0 ，
a
≠
b
a \ne b
a=b ，证明
a
p
+
b
p
>
2
1
−
p
(
a
+
b
)
p
a^{p}+b^{p}>2^{1-p}(a+b)^{p}
ap+bp>21−p(a+b)p，
p
>
1
p>1
p>1 。
64、已知
f
(
x
)
f(x)
f(x) 满足
f
(
a
)
=
2
f(a)=2
f(a)=2，
f
′
(
a
)
=
1
f'(a)=1
f′(a)=1，求
lim
n
→
∞
[
f
(
a
+
1
n
)
f
(
a
)
]
n
\displaystyle\lim_{n \to \infin}[\frac{f(a+\frac{1}{n})}{f(a)}]^{n}
n→∞lim[f(a)f(a+n1)]n ?
65、计算
lim
x
→
+
∞
(
a
1
1
x
+
a
2
1
x
+
⋯
+
a
n
1
x
n
)
n
x
\displaystyle\lim_{x \to +\infin}(\frac{a_{1}^{\frac{1}{x}}+a_{2}^{\frac{1}{x}}+\cdots+a_{n}^{\frac{1}{x}}}{n})^{nx}
x→+∞lim(na1x1+a2x1+⋯+anx1)nx，
[
a
1
,
a
2
,
⋯
,
a
n
>
0
]
[a_1,a_2,\cdots,a_n>0]
[a1,a2,⋯,an>0] 。
66、求微分方程
(
x
d
y
d
x
−
y
)
a
r
c
t
a
n
y
x
=
x
(x\frac{dy}{dx}-y)arctan\frac{y}{x}=x
(xdxdy−y)arctanxy=x 的通解？
67、求微分方程
c
o
s
y
d
x
+
(
1
+
e
−
x
s
i
n
y
d
y
=
0
cosydx+(1+e^{-x}sinydy=0
cosydx+(1+e−xsinydy=0 满足
y
(
0
)
=
π
4
y(0)=\frac{\pi}{4}
y(0)=4π 的特解？
68、令二阶常系数微分方程为
y
′
′
+
a
y
′
+
b
y
=
0
y''+ay'+by=0
y′′+ay′+by=0 的通解为
y
=
C
1
e
x
+
C
2
e
x
y=C_1e^x+C_2e^x
y=C1ex+C2ex，那么非齐次方程
y
′
′
+
a
y
′
+
b
y
=
1
y''+ay'+by=1
y′′+ay′+by=1 满足条件
y
(
0
)
=
2
、
y
′
(
0
)
=
−
1
y(0)=2、y'(0)=-1
y(0)=2、y′(0)=−1 的解为多少？
69、计算
x
2
y
′
′
+
3
x
y
′
+
y
=
0
x^2y''+3xy'+y=0
x2y′′+3xy′+y=0 的通解？
70、求函数
f
(
x
)
=
x
t
a
n
x
f(x)=\frac{x}{tanx}
f(x)=tanxx 的间断点并指出类型？
71、令
x
≥
0
x\geq0
x≥0，求函数
f
(
x
)
=
lim
n
→
∞
x
n
+
x
2
n
+
x
3
n
x
n
n
f(x)=\displaystyle\lim_{n \to \infin}\sqrt[n]{x^{n}+x^{2n}+\frac{x^{3n}}{xn}}
f(x)=n→∞limnxn+x2n+xnx3n 的区间表达式？
72、求瑕积分
∫
0
1
1
x
(
x
+
1
)
3
d
x
\int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{x(x+1)^3}}dx
∫01x(x+1)31dx ?
73、令
f
(
x
)
f(x)
f(x) 在 x=0 的某邻域内二阶可导且
lim
x
→
0
(
s
i
n
3
x
x
3
+
f
(
x
)
x
2
)
=
0
\displaystyle\lim_{x \to 0}(\frac{sin3x}{x^3}+\frac{f(x)}{x^2})=0
x→0lim(x3sin3x+x2f(x))=0，求
f
(
0
)
f(0)
f(0)，
f
′
(
0
)
f'(0)
f′(0) 及
lim
x
→
0
f
(
x
)
+
3
x
2
\displaystyle\lim_{x \to 0}\frac{f(x)+3}{x^2}
x→0limx2f(x)+3 ？
74、将函数
f
(
x
)
=
1
(
x
+
2
)
2
f(x)=\frac{1}{(x+2)^2}
f(x)=(x+2)21 展开成幂级数形式，指出其收敛区间？
75、将
f
(
x
)
=
s
i
n
2
x
f(x)=sin^{2}x
f(x)=sin2x 展开成幂级数形式？
76、设
f
(
t
)
f(t)
f(t) 是实的非负可积函数，若可积函数
x
(
t
)
≤
∫
0
t
f
(
s
)
x
(
s
)
d
s
(
t
≥
0
)
x(t)\leq\int_{0}^{t}f(s)x(s)ds (t\geq0)
x(t)≤∫0tf(s)x(s)ds(t≥0) 满足 ，请证明
x
(
t
)
≤
0
x(t)\leq0
x(t)≤0 ?
77、利用已知幂级数将函数
f
(
x
)
=
x
a
r
c
t
a
n
x
f(x)=xarctanx
f(x)=xarctanx 展开成为x的幂级数？
78、讨论方程
l
n
x
=
a
x
(
a
>
0
)
lnx=ax (a>0)
lnx=ax(a>0) 有几个实根？
79、已知
f
(
x
)
=
{
x
,
0
≤
x
≤
1
2
−
x
,
1
<
x
≤
2
f(x)=\begin{cases}x,0\leq x \leq1\\2-x,1<x\leq2\end{cases}
f(x)={x,0≤x≤12−x,1<x≤2 ，计算
(1)
S
0
=
∫
0
2
f
(
x
)
e
−
x
d
x
S_0=\int_{0}^{2}f(x)e^{-x}dx
S0=∫02f(x)e−xdx
(2)
S
n
=
∫
2
n
2
n
+
2
f
(
x
−
2
n
)
e
−
x
d
x
S_n=\int_{2n}{2n+2}f(x-2n)e^{-x}dx
Sn=∫2n2n+2f(x−2n)e−xdx
80、设
f
(
x
)
=
s
i
n
x
−
∫
0
x
(
x
−
t
)
f
(
t
)
d
t
f(x)=sinx-\int_{0}^{x}(x-t)f(t)dt
f(x)=sinx−∫0x(x−t)f(t)dt，其中
f
(
x
)
f(x)
f(x) 为连续函数，求
f
(
x
)
f(x)
f(x) 的函数？
81、求级数
∑
n
=
1
−
∞
n
2
n
x
n
\sum_{n=1}^{-\infin}\frac{n}{2^n}x^n
∑n=1−∞2nnxn 的收敛域以及和函数？
82、已知函数
f
(
x
)
f(x)
f(x) 可积，在
[
−
T
,
T
]
[-T,T]
[−T,T] 上为奇函数且是以T为周期的奇函数，试证明
∫
0
x
f
(
t
)
d
t
\int_{0}^{x}f(t)dt
∫0xf(t)dt 也是以T为周期的函数？
83、设在
[
a
,
b
]
[a,b]
[a,b] 上，
∣
f
′
′
(
x
)
∣
≤
2
\lvert f''(x) \rvert\leq2
∣f′′(x)∣≤2，且
f
(
x
)
f(x)
f(x) 在
(
a
,
b
)
(a,b)
(a,b) 内取得最小值，试证：
∣
f
′
(
a
)
+
f
′
(
b
)
∣
≤
2
(
b
−
a
)
\lvert f'(a)+f'(b)\rvert\leq2(b-a)
∣f′(a)+f′(b)∣≤2(b−a) ?
后记
该篇短文来自博主个人的小红书帖子，终稿发布时间为2024年12月5日15点27分。
该83道专升本基础的高等数学练习题，均来自博主多年前的专升本学习时期。近期重新翻阅当年的手写习题册子感慨颇多，花了几日对当年手写近140多道的习题册做了一个梳理，整理出这83道习题，算作对当年的岁月的一个纪念。今夜上传两页共25道习题，剩余的题目明日再上传。
国内的初高中数理教育是脱节的，高中到大学的数理教育也是脱节的，一般的考研数理知识范围与大学数学系的数理教育还是脱节的……凡是我见过的高等数学没学好的人，基本都是初等数学的基础没有学扎实。但是真的有所谓的“高等数学”这门课吗？我个人认为是根本就不存在什么所谓的“高等数学”课程！！！这门课就是把“函数论、单变量微积分、多变量微积分、微分方程、空间解析几何、曲线与曲面积分、级数理论”这七门数学大课的一点点内容拿过来东拼西凑成所谓的“高等数学”而已！！！
前面说到了“高等数学”没学好的人大概率是读大学之前没打好“数学基础”。那么，数学基础有哪些内容呢？这个说不定以后会在小红书里发一个帖子仔细说明（坑1），看到这里的读者可以去看看我的另外一篇贴子——《24册数学基础知识丛书》。但是，但是，我所理解的基础里应该是要有 群论、仿射几何与射影几何（从平面到空间）、集合论、实数理论、图论、概率与统计，这些得要找专门的书来看，光这一套24册的基础丛书是不够的。
另外，学了工科、商科的高等数学以后真的算学过这门课吗？从历史的发展来看，微积分的提出是为了解决当时各种各样的现实问题，这些问题是现实世界的物理层面问题。所以，如果真的要学透彻高等数学，大学的物理或许更要去学习一些，让数学与物理模型紧密结合才是真正的王道！博主本人的物理素养基本为零，数学基础也不扎实（现今都还在补“代数学”领域的基础知识），只是粗略的学习了遍考研级别的高等数学与高等代数，习题与习题册做的也不够多，距离那个境界还很遥远。
关于高等数学的习题册（坑2）、微积分与物理（坑3），这两个方面的内容以后也可以开帖子记录一下。
更新时间记录
- 记至第12题；「2024.11.12 9:47」
- 记至第33题；「2024.12.9 15:47」
- 记至第46题；「2024.12.9 20:05」
- 记至第72题；「2024.12.10 11:24」
- 记至第83题；「2024.12.10 13:08」
- 增加个人小红书帖子里的后记短文；「2024.12.10 13:22」
- 下午将这83道高数习题拍照并上传至个人动态，晚上在该篇文章中增加“解题过程”模块；「2025.1.22 19:52」
- 耗时两天时间，将动态题目图片全部搬运至该篇博文。「2025.5.22 12:48」
扫一扫
2万+
被折叠的 条评论
为什么被折叠?
到【灌水乐园】发言
