MATLAB 控制系统设计与仿真 - 6_mmc稳定性分析 matalb-优快云博客

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MATLAB线性控制系统分析 - 稳定性分析

1. 线性系统稳定的概念，

如果控制系统在初始条件和扰动下，其瞬态响应随时间的推移而逐渐衰减并趋于原点(原平衡工作点)，则称该系统是稳定的；反之，如果控制系统收到干扰作用后，其瞬态响应随时间的推移而发散，输出呈持续震荡过程，或者输出无限制的偏离平衡状态，则称该系统是不稳定的。

2. 线性系统稳定的数学理解

以传递函数的形式理解线性系统稳定性

假设系统的闭环传递函数为：

$G(s)=\frac{b_0}{s}+\frac{b_1}{s+a_0}+\frac{b_2}{s^2+b_2^2}$

其Laplace逆变换为：

$g(t)=b_0+b_1e^{-a_1t}+sin(b_2t)$

g(t) 又称为线性系统的脉冲响应函数因为 g(t)=ilaplace(G(s)∗1)

所以对于一个稳定的线性系统，必须要求 a1≥0 ，否则， g(t) 会发散。

a1 为系统特征值的一个代表。

另外根据线性系统响应原理，系统的响应为：

输入信号与脉冲响应信号的卷积，如果脉冲响应信号发散，

系统的响应就会发散，进而可以判断，系统是不稳定的。

以状态方程的形式理解线性系统稳定性

连续系统的的状态方程模型为：

$\begin{cases}\dot x(t)=Ax(t)+Bu(t)\\y(t)=Cx(t)+Du(t)\end{cases}$

根据状态方程

$\frac{dx}{dt}=Ax(t)+Bu(t)$

所以

$dx=Ax(t)dt+Bu(t)dt$

$e^{-At}dx=e^{-At}Ax(t)dt+e^{-At}Bu(t)$

$\int_{t_0}^t e^{-At}dx= \int_{t_0}^t e^{-At}Ax(t)dt+\int_{t_0}^t e^{-A\tau}Bu(\tau)d\tau$

$\int_{t_0}^t {(e^{-At}dx- \int_{t_0}^t e^{-At}Ax(t)dt)}=\int_{t_0}^t e^{-A\tau}Bu(\tau)d\tau$

$\int_{t_0}^t {d(xe^{-At})}=\int_{t_0}^t e^{-A\tau}Bu(\tau)d\tau$

$e^{-At}x(t)-e^{-At_0}x(0)=\int_{t_0}^{t} e^{-A\tau}Bu(\tau)d\tau$

$x(t)=e^{A(t-t_0)}x(t_0)+ \int_{t_0}^{t} e^{A(t-\tau)}Bu(\tau)d\tau$

有上式可知，如果 x(t) 渐进稳定，A矩阵的特征值必须为小于等于0的数。

3. MATLAB的实现方式以及案例分析

有控制理论可知，系统A的特征根和系统的极点是完全一样的，所以如果内获得系统的极点，我们就可以很容易来判断给定线性系统的稳定性。

在控制理论发展初期，由于没有直接可用的计算机软件来求取高阶多项式的根，所以，无法用求根的方法直接判断系统的稳定性，因而出现了一些间接方法，例如控制理论中的Roth判据，Hurwite判据和Lyapunov判据等。

随着计算机和数值积分的发展，我们可以借助类似MATLAB这样的语言，直接获取线性系统的特征值，进而直接判断线性系统的稳定性。

MATLAB提供了一下几个方法查看极点的分布

用roots直接求取特征方程的解
用pole直接输出系统方程的特征值
用pzmap直接在虚轴实轴绘制极点和零点的分布
用eig求取系统矩阵A的eigenvalue

例如1

clear all;clc
num=[1 2 3];
den=[1 2 3 4 5 6];
sys=tf(num,den);
p=roots(den)

运行结果为：

p =

   0.5517 + 1.2533i
   0.5517 - 1.2533i
  -1.4918 + 0.0000i
  -0.8058 + 1.2229i
  -0.8058 - 1.2229i

例如2

clear all;clc
num=[1 2 3];
den=[1 2 3 4 5 6];
sys=tf(num,den);
p=pole(sys)

运行结果为：

p =

   0.5517 + 1.2533i
   0.5517 - 1.2533i
  -1.4918 + 0.0000i
  -0.8058 + 1.2229i
  -0.8058 - 1.2229i

例如3

clear all;clc
num=[1 2 3];
den=[1 2 3 4 5 6];
sys=tf(num,den);
pzmap(sys)
grid on

运行结果为：

例如4

clear all;clc
num=[1 2 3];
den=[1 2 3 4 5 6];
sys=tf(num,den);
[A,B,C,D]=tf2ss(num,den);
p=eig(A)

运行结果为：

p =

   0.5517 + 1.2533i
   0.5517 - 1.2533i
  -1.4918 + 0.0000i
  -0.8058 + 1.2229i
  -0.8058 - 1.2229i

另外，我们也可以直接用MATLAB提供的函数isstable(sys)来直接判断线性系统是否稳定，如果返回值为1，则系统稳定，否则不稳定。

例如

clear all;clc
num=[1 2 3];
den=[1 2 3 4 5 6];
sys=tf(num,den);
key=istable(sys)

结果为：

key =

  logical

   0

所以系统是不稳定的。

更多动力学知识，请参考这里

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