【数值计算】牛顿法/牛顿下山法matlab代码

dashan_001

已于 2024-01-06 22:35:42 修改

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分类专栏：数值计算文章标签： matlab 算法

于 2024-01-06 22:35:30 首次发布

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本文详细介绍了牛顿法和牛顿下山法用于解决非线性方程的迭代过程，包括迭代公式、收敛性分析以及牛顿下山法中加入λ参数以优化全局收敛性。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

代码

function [xk,k]=newton_method_pro(x0,f,g,eps,lambda)
% 非线性方程组求解 
%   牛顿法 Newton Method , if lambda == 1
%   牛顿下山法 Newton Downhill Method , if lambda != 1
%   迭代格式 xknew=xk-lambda*f(xk)/f'(xk)
% ========================= input
% [x0] 初始向量
% [f]  f(x)
% [g]  f'(x)
% [eps] 迭代停止条件 |f(x)|<eps
% [lambda] 
% ========================= output
% [xk] 不动点解
% [k] 迭代次数

k = 0;
xk = x0;
if lambda == 1
    while abs(f(xk))>eps
        dk = -g(xk)\f(xk);
        xk = xk + lambda * dk;
        k = k + 1;
        disp(vpa(f(xk)));
    end
else % 牛顿下山法
    lambda = 1;
    while abs(f(xk))>eps
        dk = -f(xk)/g(xk);
        if abs(f(xk+lambda*dk))<abs(f(xk))
            xk = xk + lambda * dk;
            k = k + 1;
        else 
            lambda = 0.5*lambda;
        end
    end
end
end

理论

牛顿法，有时也称为牛顿-拉弗森(Newton-Rap-hson)方法，是迭代函数为 $φ (x) = x - f (x) / f^{'} (x)$ 的不动点迭代方法，目的是求解非线性方程 $f (x) = 0$ 。
几何意义
求解 $f (x) = 0$ 等同于求曲线 $f (x)$ 和 $x$ 坐标轴的交点，如果有近似解 $x_k$ ，在曲线上 $x_k,f(x_k))$ 处的切线方程为 $y=f(x_k)+f'(x_k)(x-x_k)$ ，则该切线与 $x$ 轴交于点 $x_{k+1},0)$ 。
牛顿法的几何意义特点
① 收敛时，牛顿法的收敛速度二阶
② 牛顿法的全局收敛性不管对函数还是对初始点，要求都是比较高的（牛顿下山法有效降低了这种要求，迭代函数为 $φ (x) = x - λ * f (x) / f^{'} (x)$ ，多了一个每步迭代都变化的 $λ$ ，具体思路参考教科书或代码）