内积，外积，点积 辨析

最新推荐文章于 2025-04-17 15:37:49 发布
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分类专栏： 数学基础知识 文章标签： 几何学 线性代数 算法
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本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/weixin_46021869/article/details/124683127
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本文介绍了向量的内积（点积）和外积的概念，包括它们的代数定义和几何意义。内积是向量长度的乘积与两向量间夹角余弦的乘积，几何上表示为一方向量在另一方向量上的投影。外积（向量积）则是长度乘积与夹角正弦的乘积，体现了向量的叉乘性质。了解这些基础知识对于理解向量运算和解析几何至关重要。

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内积

向量的内积 ab=ab cos(θ)
向量a和b的长度之积再乘以它们之间的夹角的余弦；
向量内积的几何解释就是一个向量在另一个向量上的投影的积，

外积

向量的外积：ab=ab sin(θ)

点积

代数定义
在这里插入图片描述
几何定义
在这里插入图片描述

reference：

  1. https://www.cnblogs.com/AndyJee/p/3491458.html
  2. wiki
数学知识--外积和内积
橘露源的博客
12-24 1万+
1、外积（叉积、向量积、叉乘） 向量积，数学中又称外积、叉积，物理中称矢积、叉乘，是一种在向量空间中向量的二元运算。它的运算结果是一个向量而不是一个数。两个向量的叉积与两个向量组成的坐标平面垂直。 对于向量U和向量V： U=(x1,y1,z1)U=(x_1, y_1, z_1)U=(x1​,y1​,z1​) V=(x2,y2,z2)V=(x_2, y_2, z_2)V=(x2​,y2​,z2​) ...
向量内积（点乘）和外积（叉乘）概念及几何意义
weixin_30401605的博客
05-26 7071
向量的内积（点乘） 定义 概括地说，向量的内积（点乘/数量积）。对两个向量执行点乘运算，就是对这两个向量对应位一一相乘之后求和的操作，如下所示，对于向量a和向量b： a和b的点积公式为： 这里要求一维向量a和向量b的行列数相同。注意：点乘的结果是一个标量(数量而不是向量) 定义：两个向量a与b的内积为 a·b = |a||b|cos∠(a, b)，特别地，0·a =...
【深度学习】详解矩阵乘法、点积，内积，外积、哈达玛积极其应用|tensor系列02
最新发布
Yaoyao2024的博客
04-17 1163
点积内积外积哈达玛积（Hadamard Product矩阵乘法这篇博客，我将结合这三种操作在深度学习中的运用，来讲解一下这三种操作的区别。对比总结表运算数学符号代码实现（PyTorch）输入要求输出规则矩阵乘法ABABA @ B或前列=后行行列点积求和点积(内积）u⋅vu⋅v同维向量标量外积u⊗vu⊗v任意两向量矩阵（( \mathbf{u} \mathbf{v}^T )）哈达玛积A∘BA∘BA * B或同形状矩阵/张量逐元素相乘。
向量内积（点乘）和外积（叉乘）
保持分享欲
03-09 2359
向量 P 在 Q上的投影可以看作 P 的线性变换
内积与外积
swartz_lubel的专栏
10-25 1万+
1.3.2 内积与外积 因为cos(π/2)=0。当然，这也是众多教科书上介绍向量内积最开始时常常用到的一种定义方式。但必须明确，这种表示方式仅仅是一种非常狭隘的定义。如果从这个定义出发来介绍向量内积，其实是本末倒置的。因为对于高维向量而言，夹角的意义是不明确的。例如，在三维坐标空间中，再引入一维时间坐标，形成一个四维空间，那么时间向量与空间向量的夹角该如何解释呢？所以读者务
矩阵的内积和外积
qq_52246120的博客
10-18 2393
矩阵的内积和外积
241平面向量数量积.ppt
11-29
首先，平面向量的数量积，也称为向量的点积或内积，是一个标量（即实数）值，它表示两个向量之间的某种关系。对于非零向量a和b，它们的夹角为θ，数量积定义为a·b = |a| |b| cosθ，其中|a|和|b|分别是向量a和b的模...
平面向量的数量积及运算律(1).pdf
11-22
数量积，也称为内积，是两个非零向量的乘积，其结果是一个标量，即实数。数量积的定义是：对于两个非零向量 \(\vec{a}\) 和 \(\vec{b}\)，它们之间的夹角为 \(\theta\)，数量积 \(\vec{a} \cdot \vec{b}\) 定义为 \...
必修四2.4.平面向量的数量积（教(学）案）.doc
10-06
首先，向量数量积，也称为向量的点积或内积，是两个向量的一种运算结果，它是一个标量而非向量。定义为：两个非零向量a和b的数量积等于它们模长的乘积与它们夹角θ的余弦值的乘积，即\( a \cdot b = |a| \cdot |b| \...
2016高考数学大一轮复习5.3平面向量的数量积教师用书理苏教版
08-06
《2016高考数学大一轮复习5.3平面向量的数量积教师用书理苏教版》主要探讨了平面...通过这些知识点的学习，学生能够理解并应用向量的数量积解决相关数学问题，尤其在处理几何和物理问题时，数量积是一个重要的工具。
数学中的内积和外积
I‘m Frank Lee
02-17 3万+
内积(inner product, scalar product，dot product) 根据翻译，内积又叫标量积、点积，还叫数量积。是指接受在实数R上的两个向量并返回一个实数值标量的二元运算。它是欧几里得空间的标准内积。 两个向量和的点积定义为： 使用矩阵乘法并把（纵列）向量当作n×1矩阵，点积还可以写为： 其中，指示矩阵a的转置。注：有的同学觉得是，其实都没有错，到底是a的...
向量外积_内积、外积、叉积（草稿）
weixin_36429440的博客
01-15 2524
根据线性代数的本质，内积和外积的意义是很明确的。内积是一个向量A在另一个向量B上的投影（具有对称性，A.B = B.A）外积又有叉积，矢积、叉乘、向量积等名字。形成一个垂直于原来的向量A,B的向量C，C的长度等于A,B构成的平行四边形的面积，符号则取决于A与B的关系（具体需要探究一下）。向量的外积应该是不满足交换律。这个很有用，可以用来人为的定义法向量。因为它垂直于另外两个向量。向量积_百度百科​...
向量的内积和外积
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向量内积（点乘/点积/数量积）：两个向量对应元素相乘之后求和：注意：点乘的结果是一个标量，而不是向量。向量外积（叉乘/叉积/向量积）：向量a与b的外积是一个向量，其方向正交于a与b，并且(a,b,a×b)构成右手系。其长度等于|a×b| = |a||b|sin∠(a,b)，为a、b构成的四边形的面积。a和b的外积公式为：还可写成：其中是反实对称矩阵，a、b的外积写成了矩阵与向量的乘法，即线性运算。
向量内积与外积
u010311328的博客
09-19 5339
1、对于二维向量：A=（x1，y1），B=（x2，y2），A与B的内积（数量积）为：x1x2+y1y2。对于三维向量：A=（x1，y1，z1），B=（x2，y2，z2），A与B的内积（数量积）为：x1x2+y1y2+z1*z2。2、而对于外积，其计算公式为：a向量×b向量=|a向量|*|b向量|*sinα，其中，α是向量a与向量b的夹角。外积的结果是一个向量，其方向垂直于原来的两个向量所在的平面，模长等于这两个向量构成的平行四边形的面积。向量相乘有两种方式，即内积（数量积）和外积（叉积）。
向量积中的内积、外积及其表现形式
weixin_45834080的博客
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向量积的形式和表示一、内积（向量点乘）1.定义2.点乘3.点乘的几何意义4.基本性质二、外积（叉乘、向量积）1.定义2.叉乘公式3.外积的几何意义4.基本性质 今天在学习SVM算法的时候，涉及到了向量的运算，所以我在这里进行了整理。 首先我先对向量进行一下介绍： 向量是由n个实数组成的一个n行1列（n*1）或一个1行n列（1*n）的有序数组； 一、内积（向量点乘） 1.定义 向量的点乘,也叫向量的...
向量点乘（内积）和叉乘（外积、向量积）概念及几何意义解读
ASKLW的博客
04-13 1207
向量是由n个实数组成的一个n行1列（n*1）或一个1行n列（1*n）的有序数组； 向量的点乘,也叫向量的内积、数量积，对两个向量执行点乘运算，就是对这两个向量对应位一一相乘之后求和的操作，点乘的结果是一个标量。 点乘公式 对于向量a和向量b：    ...
带你一次搞懂点积（内积）、叉积（外积）
聚集机器学习、信息安全
05-16 7万+
本文详细介绍了点积（内积）、叉积（外积）、元素积等常见概念的的定义，并配以举例说明及numpy实现。 堪称全网最权威，强力建议收藏，有不足之处，还请批评指正！
矩阵运算的巅峰：内积与外积展开
AI天才研究院
12-26 2403
1.背景介绍 矩阵是计算机科学和数学领域中的一个重要概念，它是由数字组成的二维数列。矩阵在线性代数、数学、物理、工程、统计学等多个领域中都有广泛的应用。在这篇文章中，我们将深入探讨矩阵运算的两个核心概念：内积(dot product)和外积(cross product)。我们将讨论它们的定义、性质、计算方法以及数学模型。此外，我们还将通过具体的代码实例来展示如何在计算机程序中实现这些运算。 2...
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