向量积中的内积、外积及其表现形式

今天在学习SVM算法的时候，涉及到了向量的运算，所以我在这里进行了整理。

首先我先对向量进行一下介绍：
向量是由n个实数组成的一个n行1列（n*1）或一个1行n列（1*n）的有序数组；

一、内积（向量点乘）

1.定义

向量的点乘,也叫向量的内积、数量积，对两个向量执行点乘运算，就是对这两个向量对应位一一相乘之后求和的操作，点乘的结果是一个标量。

具体点说，两个向量a与b的内积为 a·b = |a||b|cos∠(a, b)，它是数量而不是向量。
特别地，0·a =a·0 = 0；若a，b是非零向量，则a与b正交的充要条件是a·b = 0。

2.点乘

比如说，给定向量a和向量b：

a和b的点积公式为：

可以是必须要求一维向量a和向量b的行列数相同才可以。

3.点乘的几何意义

点乘的几何意义是可以用来表征或计算两个向量之间的夹角，以及在b向量在a向量方向上的投影，有公式：

我们用一个图来具体看一下：

根据数学上的知识，我们可以知道： c=a-b
我们来具体推导一下。
根据数学中的三角形余弦定理可以得出：

然后上面又推出c=a-b，将c带入上面公式可得：

化简之后可以得出：

根据这个公式就可以计算向量a和向量b之间的夹角。从而就可以进一步判断这两个向量是否是同一方向，是否正交(也就是垂直)等方向关系，具体对应关系为：

 a·b>0    方向基本相同，夹角在0°到90°之间

 a·b=0    正交，相互垂直  

 a·b<0    方向基本相反，夹角在90°到180°之间

4.基本性质

• a^2 ≥ 0；当a^2 = 0时，必有a = 0. （正定性）
• a·b = b·a.
• (λa + μb)·c = λa·c + μb·c，对任意实数λ, μ成立. （线性）
• cos∠(a,b) =a·b/(|a||b|).
• |a·b| ≤ |a||b|，等号只在a与b共线时成立.

余弦定理：在△ABC中，成立 c^2 = a^2 + b^2 - 2abcosC，如下图所示：

二、外积（叉乘、向量积）

1.定义

两个向量的叉乘，又叫向量积、外积、叉积，叉乘的运算结果是一个向量而不是一个标量。并且两个向量的叉积与这两个向量组成的坐标平面垂直。

具体的来说，向量a与b的外积a×b是一个向量，其长度等于|a×b| = |a||b|sin∠(a,b)，其方向正交于a与b。并且，(a,b,a×b)构成右手系。
特别地，0×a = a×0 = 0.此外，对任意向量a，a×a=0。

2.叉乘公式

给定两个向量a和b：

a和b的乘积公式为：

其中：

则根据i，j，k的关系可以得出：

3.外积的几何意义

在二维空间上，a与b的外积在数值上等于以a,b为邻边的平行四边形的面积。
正弦定理：a/sinA = b/sinB = c/sinC，如下图所示：

在三维几何中，向量a和向量b的叉乘结果是一个向量，更为熟知的叫法是法向量，该向量垂直于a和b向量构成的平面。

在3D图像学中，叉乘的概念非常有用，可以通过两个向量的叉乘，生成第三个垂直于a，b的法向量，从而构建X、Y、Z坐标系。如下图所示：

4.基本性质

• a × b = -b × a. （反衬性）
• (λa + μb) × c = λ(a ×c) + μ(b ×c). （线性）

本文参考自：https://blog.youkuaiyun.com/xuxinrk/article/details/80395746