第六章：编辑距离问题（Edit Distance）——最少操作将字符串转换为目标

第六章：编辑距离问题（Edit Distance）——最少操作将字符串转换为目标

一、题目描述

给定两个字符串 word1 和 word2，返回将 word1 转换成 word2 所使用的最少操作数。

你可以对一个字符串进行如下三种操作：

1. 插入一个字符
2. 删除一个字符
3. 替换一个字符

示例：

输入：word1 = "horse", word2 = "ros"
输出：3
解释：horse → rorse（替换 h）→ rose（删除 r）→ ros（删除 e）

二、状态定义

令 dp[i][j] 表示将 word1 的前 i 个字符转换为 word2 的前 j 个字符所需要的最少操作数。

三、状态转移方程

我们考虑 word1[i - 1] 和 word2[j - 1] 是否相等：

• 如果相等：

dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];

• 如果不等，考虑三种操作的最小值：

dp[i][j] =
  1 +
  min(
    dp[i - 1][j], // 删除 word1[i - 1]
    dp[i][j - 1], // 插入 word2[j - 1]
    dp[i - 1][j - 1] // 替换 word1[i - 1] 为 word2[j - 1]
  );

四、初始值

• dp[0][j] = j：将空串变成长度为 j 的字符串，需要插入 j 次。
• dp[i][0] = i：将长度为 i 的字符串变成空串，需要删除 i 次。

五、实现代码

function minDistance(word1, word2) {
  const m = word1.length;
  const n = word2.length;
  const dp = Array.from({ length: m + 1 }, () => new Array(n + 1).fill(0));

  for (let i = 0; i <= m; i++) dp[i][0] = i;
  for (let j = 0; j <= n; j++) dp[0][j] = j;

  for (let i = 1; i <= m; i++) {
    for (let j = 1; j <= n; j++) {
      if (word1[i - 1] === word2[j - 1]) {
        dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1];
      } else {
        dp[i][j] =
          1 +
          Math.min(
            dp[i - 1][j], // 删除
            dp[i][j - 1], // 插入
            dp[i - 1][j - 1] // 替换
          );
      }
    }
  }

  return dp[m][n];
}

六、示例演算

以 word1 = "horse", word2 = "ros" 为例：

i \ j		r	o	s
	0	1	2	3
h	1	1	2	3
o	2	2	1	2
r	3	2	2	2
s	4	3	3	2
e	5	4	4	3

最终答案：dp[5][3] = 3

七、小结

“编辑距离”问题是典型的二维动态规划问题，考察的是两个字符串之间的相似度计算。

我们掌握了：

• 如何构造二维状态矩阵
• 如何根据操作定义转移方程
• 如何初始化边界条件

下一章我们将继续探索字符串相关的动态规划问题，比如“最长公共子序列（LCS）”，进一步加深对二维 DP 的理解。