贪心算法从 0 开始 —— 第 3 章：跳跃游戏 Jump Game

贪心算法从 0 开始 —— 第 3 章：跳跃游戏 Jump Game

作者：就是滴九点半
标签：算法 / 贪心 / JavaScript / 数组 / 跳跃游戏

---

✨ 前言

在前两章中，我们学习了两个非常经典的贪心问题 —— 最小货币找零和区间调度，理解了贪心算法的核心思想：每一步都做“当前看起来最优”的选择。

这章我们将挑战一个稍微进阶的问题：跳跃游戏（Jump Game），它不仅在 LeetCode 非常经典，也常出现在笔试、面试中。它是数组类型贪心题的入门门槛。

---

📌 问题描述（LeetCode 55）

给定一个非负整数数组 nums，其中每个元素表示你在该位置上最多能跳跃的步数。

问：你是否能够从数组的第一个位置跳到最后一个位置？

示例：

输入: [2, 3, 1, 1, 4]
输出: true
解释: 可以先跳1步到3，再跳3步直接到最后。

输入: [3, 2, 1, 0, 4]
输出: false
解释: 无论怎么跳，都无法越过第3个位置的0。

---

❌ 暴力法详解：回溯搜索（DFS）

🧠 思路：

• 从起点 0 开始，尝试跳 1 ~ nums[0] 步
• 然后对每个跳到的新位置递归尝试跳法
• 只要有一条路径能跳到终点，返回 true，否则 false

✅ JavaScript 实现（暴力递归）

function canJump(nums) {
  function dfs(pos) {
    if (pos >= nums.length - 1) return true;

    let maxStep = nums[pos];
    for (let step = 1; step <= maxStep; step++) {
      if (dfs(pos + step)) return true;
    }

    return false;
  }

  return dfs(0);
}

⛔ 缺点分析

• 每个位置都尝试所有跳法
• 会重复进入同一个位置
• 没有剪枝，时间复杂度约为 O(2^n)
• 大数组会超时（LeetCode 直接 TLE）

---

✅ 贪心算法详解：一步步跳最远

💡 贪心思想引入：

跳跃游戏本质是：你只关心是否能从起点跳到终点，而不是怎么跳得最优。

于是你只需要记录一个变量 maxReach，表示你当前能跳到的最远位置，然后遍历数组。

贪心策略：

在遍历每个位置时，都更新“你能跳的最远距离”，如果中间某个点连自己都跳不到（即当前 i > maxReach），就直接失败。

✅ JavaScript 实现（一步到位）

function canJump(nums) {
  let maxReach = 0;

  for (let i = 0; i < nums.length; i++) {
    if (i > maxReach) return false; // 说明跳不到当前位置
    maxReach = Math.max(maxReach, i + nums[i]);
  }

  return true;
}

---

🧠 步骤拆解与变量追踪（例子 1）

输入：[2, 3, 1, 1, 4]
目标：判断能否从 0 跳到最后一个位置

位置 i	nums[i]	i + nums[i]	maxReach 更新前	更新后	能跳过去吗
0	2	2	0	2	✅
1	3	4	2	4	✅
2	1	3	4	4	✅
3	1	4	4	4	✅
4	4	8	4	8	✅ ✅ 到终点

最终 maxReach = 8 ≥ 最后位置 4，可以跳到。

---

🧊 再看一个失败的例子：[3, 2, 1, 0, 4]

位置 i	nums[i]	i + nums[i]	maxReach 更新前	更新后	能跳过去吗
0	3	3	0	3	✅
1	2	3	3	3	✅
2	1	3	3	3	✅
3	0	3	3	3	✅
4	4	8	3	❌ 无法访问 i=4，跳不到

最终无法访问 i=4，直接返回 false

---

📚 画图理解（贪心 vs 暴力）

暴力：每个位置都向下分叉，尝试所有可能路径（爆炸级）
贪心：一直往最远能跳的地方推进，不考虑路径，只考虑“能不能活下来”

贪心不是找“路径”，它只管“可达性”。

---

📈 时间与空间复杂度分析

项目	复杂度
时间	O(n)（遍历数组一次）
空间	O(1)（只用一个变量 maxReach）

---

✅ 方法对比总结

方法	可行性	时间复杂度	实现难度	是否推荐
暴力回溯	✅	❌ O(2^n)	⭐⭐	❌
贪心算法	✅	✅ O(n)	⭐	✅ 强烈推荐

---

✅ 小结（知识点归纳）

核心问题	跳跃可达性判定
贪心思路	每步更新“最远可达位置”
临界判断	若当前 i > maxReach，则无法跳过去
适用特性	单向数组、范围型推进、不关心路径

---

📚 下一章预告：加油站补给（LeetCode 134）

给定一个环形加油站数组，每个加油站给你一定汽油，油耗能让你走到下一个。问是否存在一个起点可以绕一圈。

这是贪心处理“环形结构”的经典题，难度更进一步，我们将在下一章深入分析。

---

如果你觉得这个系列对你有帮助，欢迎点赞、收藏、评论！
我是就是滴九点半，我们下一章继续进击贪心算法！

—— END ——