浅析二叉查找树

最新推荐文章于 2025-08-04 22:37:45 发布

南判

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分类专栏： Data Structure 文章标签：数据结构二叉树

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本文深入探讨了二叉查找树的定义、特性及其在数据搜索中的应用，详细讲解了插入、删除、查找前驱和后继、按排名找值及按值找排名的操作方法，并提供了C++代码实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

什么是二叉查找树

所谓二叉查找树，就是严格任一左子树小于根，右子树大于根的二叉树，平均情况在 $O (l o g n)$ 内查找数据元素。在大规模数据的搜索中，显然最简易的方法是利用快速排序或者归并排序对数据进行排序，然后根据下标来查询具体位置的具体数值，期望值为 $O (n l o g n)$ ，而利用二叉查找树，则可在输入时对数据进行处理，期望 $O (l o g n)$ 的时间查找位置。

插入

对于二叉查找树的插入，只需从根结点开始，不断比较当前结点与该元素的大小关系，较小向左子树递归，较大向右子树递归，直至找到插入位置。特别地，当结点数值大小与该元素相同时，只需修改该结点的 $c n t$ 值。

删除

对于删除，同样先查找数据所在位置，修改该结点 $c n t$ 值。特别地，当 $c n t = = 0$ 时，表示二叉查找树中已无该数值。

查找

之所以有二叉查找树这种较普通二叉树更高级的数据结构，重点就是为了提高查找的效率。

1.查找前驱和后继

对于前驱和后继，其实方法等同于插入，只不过对于前驱而言，要一直查找到没有右子树为止，以确保前驱最大；同样，查找后继时要直到没有左子树为止，以保证后继最小。

2.按排名找值

此时结构体中的size值将发挥作用，它用于记录以该结点为根包括该结点在内的树的大小。此时根据排名，可以通过不断比较结点的size值，找到所要确定的值。

3.按值找排名

对于给定的数值，要确定其的位置，同样，首先通过不断递归找到该元素，然后不断将结点值之间的size值做差，最后得到元素的具体位置。

$p s :$ 对于二叉查找树而言，其查找效率已经大幅提高，然后对于输入为递增或递减的数据而言，其会退化成 $O (n)$ 的单链，关于这种情况的改进，则需要一种更高级的数据结构——二叉平衡树。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 9e2 + 16;
const int INF = 0x7fffffff;
int pos;
typedef struct BinarySearchTree
{
	int val;		//表示权值
	int rank;		//表示排名
	int size;		//表示当前结点子树大小(包括该结点)
	int cnt;		//表示当前结点的数量
	int ls, rs;		//表示左右子树
}bst;
bst tree[maxn];
void add(int cur, int v)		//实现结点的插入
{
	tree[cur].size++;
	if (tree[cur].val == v)
	{
		tree[cur].cnt++;
		return;
	}
	if (tree[cur].val > v)
	{
		if (tree[cur].ls != 0)
		{
			add(tree[cur].ls, v);
		}
		else
		{
			pos++;
			tree[pos].val = v;
			tree[pos].size = 1;
			tree[pos].cnt = 1;
			tree[cur].ls = pos;
		}
	}
	else
	{
		if (tree[cur].rs != 0)
		{
			add(tree[cur].rs, v);
		}
		else
		{
			pos++;
			tree[pos].val = v;
			tree[pos].size = 1;
			tree[pos].cnt = 1;
			tree[cur].rs = pos;
		}
	}
}
int GetPre(int cur, int val, int ans)		//实现查找前驱
{
	if (tree[cur].val >= val)
	{
		if (tree[cur].ls == 0)
		{
			return ans;
		}
		else
		{
			GetPre(tree[cur].ls, val, ans);
		}
	}
	else
	{
		if (tree[cur].rs == 0)
		{
			if (tree[cur].val < val)
			{
				return tree[cur].val;
			}
			else
			{
				return ans;
			}
		}
		if (tree[cur].cnt != 0)
		{
			return GetPre(tree[cur].rs, val, tree[cur].val);
		}
		else
		{
			return GetPre(tree[cur].rs, val, ans);
		}
	}	
}
int GetNext(int cur, int val, int ans)		//实现查找后继
{
	if (tree[cur].val <= val)
	{
		if (tree[cur].rs == 0)
		{
			return ans;
		}
		else
		{
			GetNext(tree[cur].rs, val, ans);
		}
	}
	else
	{
		if (tree[cur].ls == 0)
		{
			if (tree[cur].val > val)
			{
				return tree[cur].val;
			}
			else
			{
				return ans;
			}
		}
		if (tree[cur].cnt != 0)
		{
			return GetNext(tree[cur].ls, val, tree[cur].val);
		}
		else
		{
			return GetNext(tree[cur].ls, val, ans);
		}
	}
}
int GetValByRank(int cur, int rank)		//实现按排名找值
{
	if (cur == 0)
	{
		return INF;
	}
	if (tree[tree[cur].ls].size >= rank)
	{
		return GetValByRank(tree[cur].ls, rank);
	}
	if (tree[tree[cur].ls].size + tree[cur].cnt >= rank)
	{
		return tree[cur].val;
	}
	return GetValByRank(tree[cur].rs, rank - tree[tree[cur].ls].size - tree[cur].cnt);
}
int GetRankByVal(int cur, int val)		//实现按值找排名
{
	if (cur == 0)
	{
		return 0;
	}
	if (val == tree[cur].val)
	{
		return tree[tree[cur].ls].size + 1;
	}
	if (tree[cur].val > val)
	{
		return GetRankByVal(tree[cur].ls, val);
	}
	return GetRankByVal(tree[cur].rs, val) + tree[tree[cur].ls].size + tree[cur].cnt;
}

参考博客