本文详细介绍了二叉查找树的数据结构及其基本操作，包括插入、查找、删除等，并分析了其时间复杂度。
前文介绍了符号表的两种实现，无序链表和有序数组，无序链表在插入的时候具有较高的灵活性，而有序数组在查找时具有较高的效率，本文介绍的二叉查找树(Binary Search Tree，BST)这一数据结构综合了以上两种数据结构的优点。
二叉查找树具有很高的灵活性，对其优化可以生成平衡二叉树，红黑树等高效的查找和插入数据结构，后文会一一介绍。
一 定义
二叉查找树（Binary Search Tree），也称有序二叉树（ordered binary tree）,排序二叉树（sorted binary tree），是指一棵空树或者具有下列性质的二叉树：
1. 若任意节点的左子树不空，则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值；
2. 若任意节点的右子树不空，则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值；
3. 任意节点的左、右子树也分别为二叉查找树。
4. 没有键值相等的节点（no duplicate nodes）。
如下图，这个是普通的二叉树：
在此基础上，加上节点之间的大小关系，就是二叉查找树：
二 实现
在实现中，我们需要定义一个内部类Node，它包含两个分别指向左右节点的Node，一个用于排序的Key，以及该节点包含的值Value，还有一个记录该节点及所有子节点个数的值Number。
public class BinarySearchTreeSymbolTable<TKey, TValue> : SymbolTables<TKey, TValue> where TKey : IComparable<TKey>, IEquatable<TValue> { private Node root; private class Node { public Node Left { get; set; } public Node Right { get; set; } public int Number { get; set; } public TKey Key { get; set; } public TValue Value { get; set; } public Node(TKey key, TValue value, int number) { this.Key = key; this.Value = value; this.Number = number; } } ... }
查找
查找操作和二分查找类似，将key和节点的key比较，如果小于，那么就在Left Node节点查找,如果大于，则在Right Node节点查找，如果相等，直接返回Value。
该方法实现有迭代和递归两种。
递归的方式实现如下：
public override TValue Get(TKey key) { TValue result = default(TValue); Node node = root; while (node != null) { if (key.CompareTo(node.Key) > 0) { node = node.Right; } else if (key.CompareTo(node.Key) < 0) { node = node.Left; } else { result = node.Value; break; } } return result; }
迭代的如下：
public TValue Get(TKey key) { return GetValue(root, key); } private TValue GetValue(Node root, TKey key) { if (root == null) return default(TValue); int cmp = key.CompareTo(root.Key); if (cmp > 0) return GetValue(root.Right, key); else if (cmp < 0) return GetValue(root.Left, key); else return root.Value; }
插入
插入和查找类似，首先查找有没有和key相同的，如果有，更新；如果没有找到，那么创建新的节点。并更新每个节点的Number值，代码实现如下：
public override void Put(TKey key, TValue value) { root = Put(root, key, value); } private Node Put(Node x, TKey key, TValue value) { //如果节点为空，则创建新的节点，并返回 //否则比较根据大小判断是左节点还是右节点，然后继续查找左子树还是右子树 //同时更新节点的Number的值 if (x == null) return new Node(key, value, 1); int cmp = key.CompareTo(x.Key); if (cmp < 0) x.Left = Put(x.Left, key, value); else if (cmp > 0) x.Right = Put(x.Right, key, value); else x.Value = value; x.Number = Size(x.Left) + Size(x.Right) + 1; return x; } private int Size(Node node) { if (node == null) return 0; else return node.Number; }
插入操作图示如下：
下面是插入动画效果：
随机插入形成树的动画如下，可以看到，插入的时候树还是能够保持近似平衡状态：
最大最小值
如下图可以看出，二叉查找树的最大最小值是有规律的：
从图中可以看出，二叉查找树中，最左和最右节点即为最小值和最大值，所以我们只需迭代调用即可。
public override TKey GetMax() { TKey maxItem = default(TKey); Node s = root; while (s.Right != null) { s = s.Right; } maxItem = s.Key; return maxItem; } public override TKey GetMin() { TKey minItem = default(TKey); Node s = root; while (s.Left != null) { s = s.Left; } minItem = s.Key; return minItem; }
以下是递归的版本：
public TKey GetMaxRecursive() { return GetMaxRecursive(root); } private TKey GetMaxRecursive(Node root) { if (root.Right == null) return root.Key; return GetMaxRecursive(root.Right); } public TKey GetMinRecursive() { return GetMinRecursive(root); } private TKey GetMinRecursive(Node root) { if (root.Left == null) return root.Key; return GetMinRecursive(root.Left); }
Floor和Ceiling
查找Floor(key)的值就是所有<=key的最大值，相反查找Ceiling的值就是所有>=key的最小值，下图是Floor函数的查找示意图：
以查找Floor为例，我们首先将key和root元素比较，如果key比root的key小，则floor值一定在左子树上；如果比root的key大，则有可能在右子树上，当且仅当其右子树有一个节点的key值要小于等于该key；如果和root的key相等，则floor值就是key。根据以上分析，Floor方法的代码如下，Ceiling方法的代码类似，只需要把符号换一下即可：
public TKey Floor(TKey key) { Node x = Floor(root, key); if (x != null) return x.Key; else return default(TKey); } private Node Floor(Node x, TKey key) { if (x == null) return null; int cmp = key.CompareTo(x.Key); if (cmp == 0) return x; if (cmp < 0) return Floor(x.Left, key); else { Node right = Floor(x.Right, key); if (right == null) return x; else return right; } }
删除
删除元素操作在二叉树的操作中应该是比较复杂的。首先来看下比较简单的删除最大最小值得方法。
以删除最小值为例，我们首先找到最小值，及最左边左子树为空的节点，然后返回其右子树作为新的左子树。操作示意图如下：
代码实现如下：
public void DelMin() { root = DelMin(root); } private Node DelMin(Node root) { if (root.Left == null) return root.Right; root.Left = DelMin(root.Left); root.Number = Size(root.Left) + Size(root.Right) + 1; return root; }
删除最大值也是类似。
现在来分析一般情况，假定我们要删除指定key的某一个节点。这个问题的难点在于：删除最大最小值的操作，删除的节点只有1个子节点或者没有子节点，这样比较简单。但是如果删除任意节点，就有可能出现删除的节点有0个，1 个，2个子节点的情况，现在来逐一分析。
当删除的节点没有子节点时，直接将该父节点指向该节点的link设置为null。
当删除的节点只有1个子节点时，将该自己点替换为要删除的节点即可。
当删除的节点有2个子节点时，问题就变复杂了。
假设我们删除的节点t具有两个子节点。因为t具有右子节点，所以我们需要找到其右子节点中的最小节点，替换t节点的位置。这里有四个步骤：
1. 保存带删除的节点到临时变量t
2. 将t的右节点的最小节点min(t.right)保存到临时节点x
3. 将x的右节点设置为deleteMin(t.right)，该右节点是删除后，所有比x.key最大的节点。
4. 将x的做节点设置为t的左节点。
整个过程如下图：
对应代码如下：
public void Delete(TKey key) { root =Delete(root, key); } private Node Delete(Node x, TKey key) { int cmp = key.CompareTo(x.Key); if (cmp > 0) x.Right = Delete(x.Right, key); else if (cmp < 0) x.Left = Delete(x.Left, key); else { if (x.Left == null) return x.Right; else if (x.Right == null) return x.Left; else { Node t = x; x = GetMinNode(t.Right); x.Right = DelMin(t.Right); x.Left = t.Left; } } x.Number = Size(x.Left) + Size(x.Right) + 1; return x; } private Node GetMinNode(Node x) { if (x.Left == null) return x; else return GetMinNode(x.Left); }
以上二叉查找树的删除节点的算法不是完美的，因为随着删除的进行，二叉树会变得不太平衡，下面是动画演示。
三 分析
二叉查找树的运行时间和树的形状有关，树的形状又和插入元素的顺序有关。在最好的情况下，节点完全平衡，从根节点到最底层叶子节点只有lgN个节点。在最差的情况下，根节点到最底层叶子节点会有N各节点。在一般情况下，树的形状和最好的情况接近。
在分析二叉查找树的时候，我们通常会假设插入的元素顺序是随机的。对BST的分析类似与快速排序中的查找：
BST中位于顶部的元素就是快速排序中的第一个划分的元素，该元素左边的元素全部小于该元素，右边的元素均大于该元素。
对于N个不同元素，随机插入的二叉查找树来说，其平均查找/插入的时间复杂度大约为2lnN，这个和快速排序的分析一样，具体的证明方法不再赘述，参照快速排序。
四 总结
有了前篇文章 二分查找的分析，对二叉查找树的理解应该比较容易。下面是二叉查找树的时间复杂度：
它和二分查找一样，插入和查找的时间复杂度均为lgN，但是在最坏的情况下仍然会有N的时间复杂度。原因在于插入和删除元素的时候，树没有保持平衡。我们追求的是在最坏的情况下仍然有较好的时间复杂度，这就是后面要讲的平衡查找树的内容了。下文首先讲解平衡查找树的最简单的一种：2-3查找树。
希望本文对您了解二叉查找树有所帮助。
Java实现代码：
/**
*
* 此程序实现一个二叉查找树的功能，可以进行动态插入、删除关键字；
* 查询给定关键字、最小关键字、最大关键字；转换为有序列表(用于排序)
*
*/
import java.util.ArrayList;
import java.util.List;
public class BinarySearchTree {
// 树的根结点
private TreeNode root = null;
// 遍历结点列表
private List<TreeNode> nodelist = new ArrayList<TreeNode>();
private class TreeNode {
private int key;
private TreeNode leftChild;
private TreeNode rightChild;
private TreeNode parent;
public TreeNode(int key, TreeNode leftChild, TreeNode rightChild,
TreeNode parent) {
this.key = key;
this.leftChild = leftChild;
this.rightChild = rightChild;
this.parent = parent;
}
public int getKey() {
return key;
}
public String toString() {
String leftkey = (leftChild == null ? "" : String
.valueOf(leftChild.key));
String rightkey = (rightChild == null ? "" : String
.valueOf(rightChild.key));
return "(" + leftkey + " , " + key + " , " + rightkey + ")";
}
}
/**
* isEmpty: 判断二叉查找树是否为空；若为空，返回 true ，否则返回 false .
*
*/
public boolean isEmpty() {
if (root == null) {
return true;
} else {
return false;
}
}
/**
* TreeEmpty: 对于某些二叉查找树操作(比如删除关键字)来说，若树为空，则抛出异常。
*/
public void TreeEmpty() throws Exception {
if (isEmpty()) {
throw new Exception("树为空!");
}
}
/**
* search: 在二叉查找树中查询给定关键字
*
* @param key
* 给定关键字
* @return 匹配给定关键字的树结点
*/
public TreeNode search(int key) {
TreeNode pNode = root;
while (pNode != null && pNode.key != key) {
if (key < pNode.key) {
pNode = pNode.leftChild;
} else {
pNode = pNode.rightChild;
}
}
return pNode;
}
/**
* minElemNode: 获取二叉查找树中的最小关键字结点
*
* @return 二叉查找树的最小关键字结点
* @throws Exception
* 若树为空，则抛出异常
*/
public TreeNode minElemNode(TreeNode node) throws Exception {
if (node == null) {
throw new Exception("树为空！");
}
TreeNode pNode = node;
while (pNode.leftChild != null) {
pNode = pNode.leftChild;
}
return pNode;
}
/**
* maxElemNode: 获取二叉查找树中的最大关键字结点
*
* @return 二叉查找树的最大关键字结点
* @throws Exception
* 若树为空，则抛出异常
*/
public TreeNode maxElemNode(TreeNode node) throws Exception {
if (node == null) {
throw new Exception("树为空！");
}
TreeNode pNode = node;
while (pNode.rightChild != null) {
pNode = pNode.rightChild;
}
return pNode;
}
/**
* successor: 获取给定结点在中序遍历顺序下的后继结点
*
* @param node
* 给定树中的结点
* @return 若该结点存在中序遍历顺序下的后继结点，则返回其后继结点；否则返回 null
* @throws Exception
*/
public TreeNode successor(TreeNode node) throws Exception {
if (node == null) {
return null;
}
// 若该结点的右子树不为空，则其后继结点就是右子树中的最小关键字结点
if (node.rightChild != null) {
return minElemNode(node.rightChild);
}
// 若该结点右子树为空
TreeNode parentNode = node.parent;
while (parentNode != null && node == parentNode.rightChild) {
node = parentNode;
parentNode = parentNode.parent;
}
return parentNode;
}
/**
* precessor: 获取给定结点在中序遍历顺序下的前趋结点
*
* @param node
* 给定树中的结点
* @return 若该结点存在中序遍历顺序下的前趋结点，则返回其前趋结点；否则返回 null
* @throws Exception
*/
public TreeNode precessor(TreeNode node) throws Exception {
if (node == null) {
return null;
}
// 若该结点的左子树不为空，则其前趋结点就是左子树中的最大关键字结点
if (node.leftChild != null) {
return maxElemNode(node.leftChild);
}
// 若该结点左子树为空
TreeNode parentNode = node.parent;
while (parentNode != null && node == parentNode.leftChild) {
node = parentNode;
parentNode = parentNode.parent;
}
return parentNode;
}
/**
* insert: 将给定关键字插入到二叉查找树中
*
* @param key
* 给定关键字
*/
public void insert(int key) {
TreeNode parentNode = null;
TreeNode newNode = new TreeNode(key, null, null, null);
TreeNode pNode = root;
if (root == null) {
root = newNode;
return;
}
while (pNode != null) {
parentNode = pNode;
if (key < pNode.key) {
pNode = pNode.leftChild;
} else if (key > pNode.key) {
pNode = pNode.rightChild;
} else {
// 树中已存在匹配给定关键字的结点，则什么都不做直接返回
return;
}
}
if (key < parentNode.key) {
parentNode.leftChild = newNode;
newNode.parent = parentNode;
} else {
parentNode.rightChild = newNode;
newNode.parent = parentNode;
}
}
/**
* insert: 从二叉查找树中删除匹配给定关键字相应的树结点
*
* @param key
* 给定关键字
*/
public void delete(int key) throws Exception {
TreeNode pNode = search(key);
if (pNode == null) {
throw new Exception("树中不存在要删除的关键字!");
}
delete(pNode);
}
/**
* delete: 从二叉查找树中删除给定的结点.
*
* @param pNode
* 要删除的结点
*
* 前置条件： 给定结点在二叉查找树中已经存在
* @throws Exception
*/
private void delete(TreeNode pNode) throws Exception {
if (pNode == null) {
return;
}
if (pNode.leftChild == null && pNode.rightChild == null) { // 该结点既无左孩子结点，也无右孩子结点
TreeNode parentNode = pNode.parent;
if (pNode == parentNode.leftChild) {
parentNode.leftChild = null;
} else {
parentNode.rightChild = null;
}
return;
}
if (pNode.leftChild == null && pNode.rightChild != null) { // 该结点左孩子结点为空，右孩子结点非空
TreeNode parentNode = pNode.parent;
if (pNode == parentNode.leftChild) {
parentNode.leftChild = pNode.rightChild;
pNode.rightChild.parent = parentNode;
} else {
parentNode.rightChild = pNode.rightChild;
pNode.rightChild.parent = parentNode;
}
return;
}
if (pNode.leftChild != null && pNode.rightChild == null) { // 该结点左孩子结点非空，右孩子结点为空
TreeNode parentNode = pNode.parent;
if (pNode == parentNode.leftChild) {
parentNode.leftChild = pNode.leftChild;
pNode.rightChild.parent = parentNode;
} else {
parentNode.rightChild = pNode.leftChild;
pNode.rightChild.parent = parentNode;
}
return;
}
// 该结点左右孩子结点均非空，则删除该结点的后继结点，并用该后继结点取代该结点
TreeNode successorNode = successor(pNode);
delete(successorNode);
pNode.key = successorNode.key;
}
/**
* inOrderTraverseList: 获得二叉查找树的中序遍历结点列表
*
* @return 二叉查找树的中序遍历结点列表
*/
public List<TreeNode> inOrderTraverseList() {
if (nodelist != null) {
nodelist.clear();
}
inOrderTraverse(root);
return nodelist;
}
/**
* inOrderTraverse: 对给定二叉查找树进行中序遍历
*
* @param root
* 给定二叉查找树的根结点
*/
private void inOrderTraverse(TreeNode root) {
if (root != null) {
inOrderTraverse(root.leftChild);
nodelist.add(root);
inOrderTraverse(root.rightChild);
}
}
/**
* toStringOfOrderList: 获取二叉查找树中关键字的有序列表
*
* @return 二叉查找树中关键字的有序列表
*/
public String toStringOfOrderList() {
StringBuilder sbBuilder = new StringBuilder(" [ ");
for (TreeNode p : inOrderTraverseList()) {
sbBuilder.append(p.key);
sbBuilder.append(" ");
}
sbBuilder.append("]");
return sbBuilder.toString();
}
/**
* 获取该二叉查找树的字符串表示
*/
public String toString() {
StringBuilder sbBuilder = new StringBuilder(" [ ");
for (TreeNode p : inOrderTraverseList()) {
sbBuilder.append(p);
sbBuilder.append(" ");
}
sbBuilder.append("]");
return sbBuilder.toString();
}
public TreeNode getRoot() {
return root;
}
public static void testNode(BinarySearchTree bst, TreeNode pNode)
throws Exception {
System.out.println("本结点: " + pNode);
System.out.println("前趋结点: " + bst.precessor(pNode));
System.out.println("后继结点: " + bst.successor(pNode));
}
public static void testTraverse(BinarySearchTree bst) {
System.out.println("二叉树遍历：" + bst);
System.out.println("二叉查找树转换为有序列表: " + bst.toStringOfOrderList());
}
public static void main(String[] args) {
try {
BinarySearchTree bst = new BinarySearchTree();
System.out.println("查找树是否为空？ " + (bst.isEmpty() ? "是" : "否"));
int[] keys = new int[] { 15, 6, 18, 3, 7, 13, 20, 2, 9, 4 };
for (int key : keys) {
bst.insert(key);
}
System.out.println("查找树是否为空？ " + (bst.isEmpty() ? "是" : "否"));
TreeNode minkeyNode = bst.minElemNode(bst.getRoot());
System.out.println("最小关键字： " + minkeyNode.getKey());
testNode(bst, minkeyNode);
TreeNode maxKeyNode = bst.maxElemNode(bst.getRoot());
System.out.println("最大关键字： " + maxKeyNode.getKey());
testNode(bst, maxKeyNode);
System.out.println("根结点关键字： " + bst.getRoot().getKey());
testNode(bst, bst.getRoot());
testTraverse(bst);
System.out.println("****************************** ");
testTraverse(bst);
} catch (Exception e) {
System.out.println(e.getMessage());
e.printStackTrace();
}
}
}
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