新Nim游戏(线性基+Nim博弈)

原题链接

传统的Nim游戏是这样的：有一些火柴堆，每堆都有若干根火柴（不同堆的火柴数量可以不同）。两个游戏者轮流操作，每次可以选一个火柴堆拿走若干根火柴。可以只拿一根，也可以拿走整堆火柴，但不能同时从超过一堆火柴中拿。拿走最后一根火柴的游戏者胜利。

本题的游戏稍微有些不同：在第一个回合中，第一个游戏者可以直接拿走若干个整堆的火柴。可以一堆都不拿，但不可以全部拿走。第二回合也一样，第二个游戏者也有这样一次机会。从第三个回合（又轮到第一个游戏者）开始，规则和Nim游戏一样。

如果你先拿，怎样才能保证获胜？如果可以获胜的话，还要让第一回合拿的火柴总数尽量小。

解法:传统nim博弈当所以石子异或和为0时先手必败,那么我们就要保证当前所有石子不能异或和为0,那么就是我们要保证没有一个非空子集异或和为0,题目要求第一个回合尽可能拿的少石子,我们从大到小贪心即可

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int a[105],b[105];
int vis[105],p[32];
bool cmp(int a, int b){
    return a > b;
}
int main(){
    //那么对于这个问题来说
    //对于nim博弈来说 我们a_1^a_2^..^a_n = 0先手必败
    //现在我们有一个机会可以
    int n;
    scanf("%d",&n);
    for(int i = 1; i <= n; i++)scanf("%d",&a[i]),b[i] = a[i];
    sort(a+1,a+1+n,cmp);
    sort(b+1,b+1+n,cmp);
    for(int i = 1; i <= n; i++){
        for(int j = 30; j >= 0; j--){
            if(b[i] >> j & 1){
                if(!p[j]){
                    //p[j]表示第j位为1出现在最大的a[i]数是谁
                    p[j] = b[i];
                    vis[i] = 1;
                    break;
                }
                b[i] ^= p[j];
            }
        }
    }
    long long ans = 0;
    for(int i = 1; i <= n; i++){
        if(!vis[i])ans += a[i];
    }
    printf("%lld\n",ans);
}