【bzoj 3105】: [cqoi2013]新Nim游戏

最新推荐文章于 2022-04-30 20:15:10 发布

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本文探讨了如何运用拟阵的概念来证明贪心算法的有效性，并通过实例展示了这种方法的应用。主要内容包括遗传性和交换性的证明，以及贪心算法在实际问题中的应用，最后给出了解决方案。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3105

用拟阵的知识可知，可以贪心

证明来自http://blog.youkuaiyun.com/wyfcyx_forever/article/details/39477673

有关拟阵的证明：
我们设n个火柴堆的数目为集合S,若某个S的子集r不存在任何一个非空子集异或和0，则r∈I.下面我们证明二元组M=(S,I)是一个拟阵。
遗传性：设A∈I,则A是S的线性无关组，则A的任意非空子集均线性无关，即对A的任意子集B,B均线性无关，因此B∈I,证毕。
交换性：设A,B∈I,且|A|<|B|,我们要证明存在x∈B,使得A∪{x}∈I.利用反证法，假设对于任意x∈B-A,均有A∪{x}不属于I,则B-A中的元素均在A的异或空间中，可由A的子集异或和表示。
因此B中的元素都在A的异或空间中。那么必然有B的异或空间包含于A的异或空间。由|A|<|B|且A,B线性无关，显然矛盾。因此交换性存在，证毕。
从而我们可以使用贪心算法确定最优解。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cstdlib>
#include <iostream>
#include <cmath>
#include <algorithm>
using namespace std;
/************************************************
Code By willinglive    Blog:http://willinglive.cf
************************************************/
#define rep(i,l,r) for(int i=(l),___t=(r);i<=___t;i++)
#define per(i,r,l) for(int i=(r),___t=(l);i>=___t;i--)
#define MS(arr,x) memset(arr,x,sizeof(arr))
#define LL long long
#define INE(i,u,e) for(int i=head[u];~i;i=e[i].next)
inline const int read()
{int r=0,k=1;char c=getchar();for(;c<'0'||c>'9';c=getchar())if(c=='-')k=-1;
for(;c>='0'&&c<='9';c=getchar())r=r*10+c-'0';return k*r;}
/////////////////////////////////////////////////
LL n,a[103],tot,b[33];
/////////////////////////////////////////////////
 
/////////////////////////////////////////////////
void input()
{
    rep(i,1,n=read()) tot+=a[i]=read();
    sort(&a[1],&a[n+1],greater<LL>());
}
void solve()
{
    LL ans=0;
    rep(i,1,n)
    {
        int t=a[i];
        per(j,30,0) if(t&(1<<j))
        {
            if(!b[j])
            {
                b[j]=t;
                break;
            }
            else t^=b[j];
        }
        if(t) ans+=a[i];
    }
    if(ans!=0) cout<<tot-ans<<endl;
    else puts("-1");
}
/////////////////////////////////////////////////
int main()
{
    //freopen("std.in","r",stdin); freopen("std.out","w",stdout);
    input(),solve();
    return 0;
}