高阶线性微分方程

高阶线性微分方程学习笔记

相关定义:

• 高阶线性微分方程一般形式:
  $$\begin{gathered} p_0(t)x^{(n)}(t)+p_1(t)x^{(n-1)}(t)+...+p_{n-1}(t)x^{\prime }(t)+p_n(t)x(t)=f(t) \\ 若p_0(t)不等于0,上式可写成: \\ {x}^{(n)}+P_1(t)x^{(n-1)}+...+P_{n-1}(t)x^{\prime }+P_n(t)x=F(x) \\ 其中P_i(t)=\frac{p_i(t)}{p_0(t)}. \end{gathered}$$
  为书写简洁,引入记号
  $$L(x)=x^{(n)}+P_1(t)x^{(n-1)}+...+P_{n-1}(t)x^{\prime }+P_n(t)x$$
  从而线性齐次方程可简洁的写为
  $L(x)=0$,
  其中,
  L()=dndtn+P1(t)dn−1dtn−1+...+Pn−1(t)ddt+Pn(t)L()=\frac{d^n}{dt^n}+P_1(t)\frac{d^{n-1}}{dt^{n-1}}+...+P_{n-1}(t)\frac{d}{dt}+P_n(t)L()=dt