数学基础-均值、期望、方差、标准差、协方差

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本文深入探讨了统计学中的关键概念，包括均值、期望、方差、标准差及协方差，解释了它们在概率论与数理统计中的应用，并展示了如何通过公式计算这些指标。

均值：
统计学概念，根据实际试验结果计算得出的平均值
$Xˉ=1N(x1+x2+⋯+xn)\bar X=\frac{1}{N}(x_1+x_2+\dots+x_n)$

期望：
概率论概念，是一个数学特征
$E(X)=X1∗p(X1)+X2∗p(X2)+⋯+Xn∗p(Xn)E(X)=X_1*p(X_1)+X_2*p(X_2)+\dots+X_n*p(X_n)$
$E(X)=∑k=1nxkpkE(X)=\displaystyle\sum_{k=1}^{n}x_kp_k$
如果说概率是频率随样本趋于无穷的极限，期望就是平均数随样本趋于无穷的极限
可以看出均值和期望是大数定理联系起来的。

方差：
在概率论与数理统计中，方差用来度量随机变量和其数学期望（即均值）之间的偏离程度。
方差是各个数据与平均数之差的平方和的平均数
$s2=∑i=1n(Xi−Xˉ)2n−1s^2=\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar X)^2}{n-1}$

标准差：
方差的平方根
$s=∑i=1n(Xi−Xˉ)2n−1s=\sqrt{\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar X)^2}{n-1}}$

协方差：
度二维数据（两个变量）之间的相关性
方差和标准差是度量一维数据的

$协方差：cov=∑i=1n(Xi−Xˉ)(Yi−Yˉ)n−1协方差：cov=\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar X)(Y_i-\bar Y)}{n-1}$
$方差：cov=∑i=1n(Xi−Xˉ)(Xi−Xˉ)n−1=∑i=1n(Xi−Xˉ)2n−1方差：cov=\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar X)(X_i-\bar X)}{n-1}=\frac{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar X)^2}{n-1}$