施密特正交化的几何意义与推导

对于一组向量，有时候我们需要对其进行正交化处理，也就是说，该组向量中任意两个向量都是互相垂直的。那么，要怎么做呢？

假设只有两个向量，${\vec{v}}_0$和${\vec{v}}_1$，正交化的几何示意图如下所示。

假设正交化之后的向量为${\vec{w}}_0$和${\vec{w}}_1$，那么由图可知，可得${\vec{w}}_0={\vec{v}}_0$，且有：

${\vec{w}}_1={\vec{v}}_1-\frac{{\vec{v}}_1\cdot {\vec{w}}_0}{|{\vec{w}}_0|}$

这里减去的部分是向量${\vec{v}}_1$在向量${\vec{w}}_0$上的投影。然后将${\vec{w}}_0$和${\vec{w}}_1$进行归一化，就得到了最终的结果。

那么，如果有三个向量，${\vec{v}}_0$，${\vec{v}}_1$，${\vec{v}}_2$，这种情况要如何处理呢？同样地，正交化的几何示意图如下所示。

假设正交化之后的向量为${\vec{w}}_0$，${\vec{w}}_1$，${\vec{w}}_2$，由图可知，可得${\vec{w}}_0={\vec{v}}_0$，且有：

${\vec{w}}_1={\vec{v}}_1-\frac{{\vec{v}}_1\cdot {\vec{w}}_0}{|{\vec{w}}_0|}$

${\vec{w}}_2={\vec{v}}_2-\frac{{\vec{v}}_2\cdot {\vec{w}}_0}{|{\vec{w}}_0|}-\frac{{\vec{v}}_2\cdot {\vec{w}}_1}{|{\vec{w}}_1|}$

从图中可以看出向量${\vec{w}}_2$即为向量${\vec{v}}_2$减去在${\vec{w}}_0$和${\vec{w}}_1$上的投影。将这三个向量进行归一化即可得到最终的结果。

那么，假如我们有一组向量 { v ⃗ 0 , v ⃗ 1 , v ⃗ 2 , . . . , v ⃗ n } \{ \vec v_0, \vec v_1, \vec v_2, ..., \vec v_n \} {v 0​,v 1​,v 2​,...,v n​}，要想求得它们正交化后的向量组 { w ⃗ 0 , w ⃗ 1 , w ⃗ 2 , . . . , w ⃗ n } \{ \vec w_0, \vec w_1, \vec w_2, ..., \vec w_n \} {w 0​,w 1​,w 2​,...,w n​}，步骤如下：

1. 令${\vec{w}}_0={\vec{v}}_0$；
2. 计算：${\vec{w}}_i={\vec{v}}_i-{\sum }_{j=0}^{i-1}\frac{{\vec{v}}_i\cdot {\vec{w}}_j}{|{\vec{w}}_j|};(1\le i\le n)$；
3. 将得到的 { w ⃗ 0 , w ⃗ 1 , w ⃗ 2 , . . . , w ⃗ n } \{ \vec w_0, \vec w_1, \vec w_2, ..., \vec w_n \} {w 0​,w 1​,w 2​,...,w n​}进行正交化。