施密特正交化的几何解释

最新推荐文章于 2024-01-24 13:49:08 发布
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分类专栏： 数学 文章标签： 数学
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线性代数中最头疼的公式恐怕就是施密特正交化了。但其实搞清楚它的几何原理之后公式的记忆就简单多了，数学重在理解!

给定一组基 α1,α2,...,αn ,将其变换成另外一组正交基 β1,β2,...,βn ,使这两组基等价
施密特正交化方法：
β1=α1
β2=α2−(α2,β1)(β1,β1)β1
…
βn=αn−

最低0.47元/天 解锁文章
施密特正交化
一个搬运知识的笨小孩
09-21 2307
施密特正交化 目的: 将任意基转化为标准正交基 下图为步骤, 文章后面有详解 原基 →\rightarrow→ 正交基 →\rightarrow→ 标准正交基 1.空间 R1R^1R1 的规范正交基求法 直接对某个基规范化即可 2.空间 R2R^2R2 的规范正交基求法 任意两个向量 α1,α2\alpha_1,\alpha_2α1​,α2​ 作为基 第一步将 α1\alpha_1α1​ 更名为 β1\beta_1β1​ 第二步求 β2\beta_2β2​ : 将 α2\alpha_2α2​ 向 α
线性代数 --- Gram-Schmidt, 格拉姆-施密特正交化（上）
松下J27录放机
06-24 1962
在求解最小二乘的问题时，已经介绍了类似于Gram-Schmidt的一些想法。在这里要继续介绍这些想法，那就是如何“改写”矩阵A中的列向量，使得最小二乘解的计算越来越简单，甚至可以直接写出答案。
施密特正交化的几何解释与代码实现
domodo2012的博客
12-04 3179
1、施密特正交化的几何解释 给定一组基α1,α2,…,αn,将其变换成另外一组正交基β1,β2,…,βn,使这两组基等价 施密特正交化方法： 首先清除一个公式，两个向量α,β,那么α在β上的投影向量为 如图红色部分即为投影部分 则蓝色部分向量为 对应两个向量的施密特法则 可见蓝色向量为β2与β1是垂直的 而当向量个数为3时，对应三维空间的几何解释如图 其中绿色的为需要正交的原始基αi（α1是红色的因为α1同时也是β1） 将二维得到的β2平移到坐标原点出后则α3在xoy平面的投影即是 即α3在β
[数学]——施密特正交化的几何含义
jokerxsy的博客
06-13 1371
前言 给定一个向量组，如果要是向量组中的向量两两正交，则需要对向量组做施密特正交化。 解释 假设向量组为(α1.α2,.....αn)(α_1.α_2,.....α_n)(α1​.α2​,.....αn​)，那就一步一步来做： 第一步，确定基准 以α1α_1α1​为基准，也就是β1=α1β_1 = α_1β1​=α1​ 第二步，消除α_2在α_1上的分量，使得两者正交 （确定方向）：首先求α1α_1α1​这个方向的单位向量，为α1/∣∣α1∣∣α_1/||α_1||α1​/∣∣α1​∣∣ （确定长度）：再求
施密特(Gram-Schmidt)正交化
要把所有那些负面的信息当做对自身行为的评价，而不是对自身价值的评判。
07-12 4763
我在这里曾将犯过一个错误，不明白乘以a1/|a1|的含义，直觉不自然的乘以a2/|a1|，结果得到错误的值，以此为戒。如果没有空间向量解析几何基础，理解起来稍微有些困难，因此稍微解说一下。
matlab格拉姆施密特,改进的格拉姆-施密特正交化（modified Gram-Schmidt Process）
weixin_39932692的博客
03-21 1880
最近在重新学习线性代数，学习的教材是MIT Gilbert Strang 教授的《INTRODUCTION TO LINEAR ALGEBRA》，在第4.4章节格拉姆-施密特正交化时，书中章节末尾介绍了一种改进的格拉姆-施密特正交化方法，但书中给出了公式，省略了很多细节，给学习理解造成了一定的难度，为自己今后或者遇到同样问题的朋友记录一下公式的来由。首先，介绍一下格拉姆施密特正交化的思想和方法。介...
[矩阵的QR分解系列一] 施密特(Schmidt)正交规范化
honyniu的专栏
11-22 1万+
施密特正交化简介方法例子引用 简介 在矩阵操作中，经常需要从一组线性无关的向量构造出一组同等个数等价的两两正交的向量，并且需要使每个向量的模等于1，也就是每个新向量都是单位向量，这种做法叫做线性无关向量组的正交规范化。本文主要介绍的施密特正交化方法就是比较常用的正交规范化方法。 上面有几个概念解释一下： 线性无关 对于一组向量x1,x2,...,xn(n≥1)\mathbf{x_1,x_2,...,x_n}(n\geq1)x1​,x2​,...,xn​(n≥1)来说，只有k1,k2,...,kn(n≥1)k
什么是正交，函数空间，希尔伯特空间，施密特正交化，线形代数基础
Yuinfen的博客
11-01 1565
# 文科生背景+学习过各种微积分 # 原来不过是在理科的线性代数课堂中换了个说法。。。 # 个人觉得知乎上有很多大神对很多数学和物理学的概念解释得非常好，所以cite了 # 此外，youtube有非常好的 系统化的 统计课程 numericalmethodsguy 和 khan Academy (可汗学院) # google books 里面有一个也不错的统计书的资源 正交多项式...
【施密特正交化的几何解释_最直观图解法】
qq_42222110的博客
04-14 1455
线性代数中最头疼的公式恐怕就是施密特正交化了。但其实搞清楚它的几何原理之后公式的记忆就简单多了，数学重在理解! 给定一组基 首先清除一个公式，两个向量 如图红色部分即为投影部分 则蓝色部分向量为是垂直的 而当向量个数为3时，对应三维空间的几何解释如图 其中绿色的为需要正交的原始基是正交的。 同样可以推广到三维以上的欧氏空间,即施密特正交公式。 ...
施密特正交化（Schmidt）
oneslide
08-01 1万+
n维向量空间RnRnR^n中得出的一组线性无关的向量a1,a2,.....ana1,a2,.....ana_1,a_2,.....a_n 怎么确定一组两两正交的向量？使每一个在原坐标系中向量在新的正交基下确定的 坐标系中重新确定坐标？ 施密特正交化用于对向量空间中的一组线性无关的向量a1,a2,....ana1,a2,....ana_1,a_2,....a_n 确定一组正交基e1,e2,....
施密特正交化(Gram-Schmidt Orthogonalization)
热门推荐
WZX_Hello的博客
08-21 2万+
关于施密特正交化的基础知识、算法细节，以及与LS方法的关联
正交化原理与代码（施密特正交化与对称正交化）
梦想终会实现
01-24 2172
关键词：施密特正交化 (Gram-Schmidt Orthogonalization)，对称正交化/勒夫丁正交化（Symmetric Orthogonalization/ Per-Olov Löwdin Orthogonalization）
格拉姆--施密特(Gram-Schmidt)正交化方法笔记
m0_52687165的博客
11-08 1万+
施密特正交化的笔记
施密特正交化的几何意义与推导
异次元的归来
10-21 8883
对于一组向量，有时候我们需要对其进行正交化处理，也就是说，该组向量中任意两个向量都是互相垂直的。那么，要怎么做呢？ 假设只有两个向量，v⃗0\vec v_0v0​和v⃗1\vec v_1v1​，正交化的几何示意图如下所示。 假设正交化之后的向量为w⃗0\vec w_0w0​和w⃗1\vec w_1w1​，那么由图可知，可得w⃗0=v⃗0\vec w_0 = \vec v_0w0​=v0​，且有：...
施密特(Schimidt)正交化与正交匹配追踪
彬彬有礼的专栏
04-17 2万+
上一篇《稀疏表示与匹配追踪》中详细的解释了匹配追踪（Matching Pursuit，MP）的流程，在最后给出了正交匹配追踪（Orthogonal Matching Pursuit，OMP）的流程，并指出OMP与MP的不同根本在于残差更新过程：OMP减去的Pem是在所有被选择过的原子组成的矩阵φt所张成空间上的正交投影，而MP减去的Pem是在本次被选择的原子φp所张成空间上的正交投影。正交投影及正交投影变换矩阵的概念可以参见《压缩感知中的数学知识：投影矩阵（projectionmatrix）》。
几何形状建模表示法
最新发布
05-07
<think>好的，我需要回答用户关于几何形状建模表示方法或技术的问题。根据用户提供的引用内容，特别是引用[1]，里面提到了线框模型、表面模型和实体模型，以及实体模型中的分解表示、构造表示（CSG）和边界表示（BREP）。首先，我应该整理这些信息，确保覆盖主要的分类和技术。 用户可能希望了解不同建模方法的特点和应用场景。我需要将每个方法的基本概念、优缺点以及实际应用例子解释清楚。例如，线框模型适合简单的几何表示，而实体模型更适用于复杂的工程设计。同时，引用[3]提到光线追踪在光学建模中的应用，这可能与表面模型或BREP有关联，可以适当提及。 另外，引用[4]中的施密特正交化和Voronoi图虽然属于数学方法，但可能用户的问题更关注几何建模的具体技术，所以需要判断是否相关。可能Voronoi图在分解表示中有应用，例如空间分割，可以简要提到。 需要确保回答结构清晰，分点说明每种表示方法，并给出实际例子。例如，在讲解CSG时，可以说明其通过布尔运算组合基本体素，引用[1]中的构造表示法作为支持。BREP则强调表面边界的精确描述，适用于CAD软件。 还要注意使用正确的中文术语和LaTeX格式，如数学公式用$...$包裹，独立公式用$$...$$。例如，在解释分解表示时，如果涉及空间分割的数学表达，可能需要使用积分或坐标公式，但根据引用内容，可能不需要复杂的公式，重点在分类和特点。 最后，生成相关问题时要围绕用户的问题扩展，例如不同方法的比较、应用案例或最新技术发展。确保问题具有针对性，帮助用户进一步探索。 总结步骤： 1. 分类介绍几何建模方法，基于引用[1]的三大类。 2. 详细说明每种方法的特点、优缺点和应用。 3. 结合其他引用内容补充相关技术，如光线追踪在表面模型中的应用。 4. 使用正确的中文和LaTeX格式，确保行内公式正确。 5. 生成相关问题，促进用户深入理解。</think>### 几何形状建模的表示方法及技术 几何形状建模的表示方法根据其几何特征和应用场景可分为以下几类： --- #### 一、**按几何特征分类** 1. **线框模型（Wireframe Model）** - **定义**：通过顶点和边的集合表示几何形状，仅描述物体的轮廓结构。 - **特点**： - 数据结构简单，计算量小； - 无法表示表面和体积信息，易产生歧义（如无法区分实体与空心结构）。 - **应用**：早期CAD系统、简单三维轮廓展示[^1]。 2. **表面模型（Surface Model）** - **定义**：通过曲面（如NURBS曲面、多边形网格）描述物体的表面形态。 - **特点**： - 支持复杂曲面建模（如汽车外壳、飞机机翼）； - 缺乏体积信息，无法直接进行物理属性分析（如质量计算）。 - **应用**：工业设计、动画建模[^1][^3]。 3. **实体模型（Solid Model）** - **定义**：完整描述物体的几何和拓扑信息（表面、体积、内部结构）。 - **分类**： - **分解表示**（如体素、八叉树）：将物体分解为小立方体单元，适合空间分割和医学成像。 - **构造实体几何（CSG）**：通过基本体素（立方体、球体）的布尔运算（并、交、差）构建复杂形状。 $$ \text{CSG树示例：} \quad \text{圆柱} = \text{长方体} \cup \text{球体} - \text{圆锥} $$ - **边界表示（BREP）**：精确描述物体表面边界（顶点、边、面的拓扑关系），广泛用于CAD软件（如SolidWorks）[^1][^3]。 --- #### 二、**其他关键建模技术** 1. **参数化建模** - 通过参数驱动形状变化（如调整半径改变圆柱体尺寸），支持设计迭代。 2. **隐式建模** - 使用数学方程（如$f(x,y,z)=0$）定义形状，适合流体、有机形态建模。 3. **细分曲面（Subdivision Surfaces）** - 通过递归细分多边形网格生成光滑曲面，用于动画和影视特效。 4. **点云与Voronoi图** - **点云**：通过密集点集表示物体表面，常用于3D扫描重建。 - **Voronoi图**：基于核心点划分区域，应用于材质分布、地形生成[^4]。 --- #### 三、**技术对比与选择** | 方法 | 优点 | 缺点 | 典型应用 | |------------|-----------------------|-----------------------|-----------------------| | **CSG** | 直观，适合简单组合 | 难以处理复杂曲面 | 机械零件设计 | | **BREP** | 高精度，支持拓扑操作 | 数据量大，计算复杂 | CAD/CAM系统 | | **体素** | 易于空间分析 | 分辨率受限 | 医学成像、3D打印 | ---
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