动态规划练习

最新推荐文章于 2022-08-01 19:51:43 发布

ALuckyA

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分类专栏：数据结构与算法

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本文深入解析动态规划算法，通过经典背包问题、数列分组问题和学校申请概率问题，阐述状态转移方程的设计与应用，适合算法初学者及进阶者。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

动态规划算法核心思想

将大问题划分成若干个子问题，从而一步步获取最优解的处理算法
与分治算法相同的是，均将待求解问题划分成一个个小子问题，从这些子问题得到原问题的解
与分治算法不同的是，动态规划得到一系列的子问题是互相有关联的，而不是独立存在

经典背包例题

——01背包
题目描述
金明今天很开心，家里购置的新房就要领钥匙了，新房里有一间他自己专用的很宽敞的房间。更让他高兴的是，妈妈昨天对他说：“你的房间需要购买哪些物品，怎么布置，你说了算，只要不超过N元钱就行”。今天一早金明就开始做预算，但是他想买的东西太多了，肯定会超过妈妈限定的N元。于是，他把每件物品规定了一个重要度，分为5等：用整数1−5表示，第5等最重要。他还从因特网上查到了每件物品的价格（都是整数元）。他希望在不超过N元（可以等于N元）的前提下，使每件物品的价格与重要度的乘积的总和最大。

设第j件物品的价格为v[j]，重要度为w[j]，共选中了k件物品，编号依次为j1,j2,…jk ，则所求的总和为：
v[j1]*w[j1]+v[j2]*w[j2]+…+v[jk]w[jk]
请你帮助金明设计一个满足要求的购物单。
输入格式
第一行，为2个正整数，用一个空格隔开：n,m（其中N(<30000)表示总钱数，m(<25)为希望购买物品的个数。）

从第2行到第m+1行，第j行给出了编号为j−1的物品的基本数据，每行有2个非负整数v p（其中v表示该物品的价格(v≤10000)，p表示该物品的重要度(1−5)

输出格式
1个正整数，为不超过总钱数的物品的价格与重要度乘积的总和的最大值(<100000000)

输入输出样例

该题属于01背包问题
代码

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

int n, m,dp[30005];
struct thing {
	int money;
	int val;
}th[30];
int main() {
	memset(dp, 0, sizeof(dp));
	scanf("%d %d", &n, &m);
	for (int i = 0; i < m; i++) {
		scanf("%d %d", &th[i].money, &th[i].val);
	}
	for (int i = 0; i < m; i++) {
		for (int j = n; j >= th[i].money; j--) {
			dp[j] = max(dp[j], dp[j - th[i].money] + th[i].money * th[i].val);
		}
	}
	cout << dp[n] << endl;
	return 0;
}

升级版的01背包
金明的预算方案

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

int n, m, price[70][3], val[70][3];
int dp[100000],f[70];
int main() {
	memset(price, 0, sizeof(price));
	memset(val, 0, sizeof(val));
	memset(dp, 0, sizeof(dp));
	memset(f, 0, sizeof(f));
	scanf("%d %d", &n, &m);
	for (int i = 1; i <= m; i++) {
		int pri, value, type;
		scanf("%d %d %d", &pri, &value, &type);
		if (type == 0) {
			price[i][0] = pri;
			val[i][0] = value;
		}
		else {
			f[type]++;
			price[type][f[type]] = pri;
			val[type][f[type]] = value;
		}
	}
	for (int i = 1; i <= m; i++) {
		for (int j = n; j >= price[i][0]; j--) {
			dp[j] = max(dp[j], dp[j - price[i][0]] + price[i][0] * val[i][0]);
			if (j >= price[i][0] + price[i][1]) {
				dp[j] = max(dp[j], dp[j - price[i][0] - price[i][1]] + price[i][0] *
					val[i][0] + price[i][1] * val[i][1]);
			}
			if (j >= price[i][0] + price[i][1] + price[i][2]) {
				dp[j] = max(dp[j], dp[j - price[i][0] - price[i][1] - price[i][2]] +
					price[i][0] * val[i][0] + price[i][1] * val[i][1] +
					price[i][2] * val[i][2]);
			}
		
		}
	}
	cout << dp[n] << endl;
	return 0;
}

其核心在于将状态转移方程找出来
另一个题目
Given a consecutive number sequence S1, S2, S3, S4 … Sx, … Sn (1 ≤ x ≤ n ≤ 1,000,000, -32768 ≤ Sx ≤ 32767). We define a function sum(i, j) = Si + … + Sj (1 ≤ i ≤ j ≤ n).
Now given an integer m (m > 0), your task is to find m pairs of i and j which make sum(i1, j1) + sum(i2, j2) + sum(i3, j3) + … + sum(im, jm) maximal (ix ≤ iy ≤ jx or ix ≤ jy ≤ jx is not allowed).

But I`m lazy, I don’t want to write a special-judge module, so you don’t have to output m pairs of i and j, just output the maximal summation of sum(ix, jx)(1 ≤ x ≤ m) instead. ^_

Input
Each test case will begin with two integers m and n, followed by n integers S1, S2, S3 … Sn.
Process to the end of file.

Output
Output the maximal summation described above in one line.

Sample Input

1 3 1 2 3
2 6 -1 4 -2 3 -2 3

Sample Output

6
8

题目大意是说将输入的n个数分成m组，使得m组的和加起来最大
题解：
维护一个dp[ ][ ]二维数组，dp[i][j]表示前i个数分成了j组
则有状态转移方程：
dp[i][j]=max(dp[i-1][j]+p[i],max(dp[x][j-1])+p[i])

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;

int n, m;
const int LEN = 1e6 + 5;
int dp[LEN], p[LEN], Max[LEN];
int main() {
	//ios::sync_with_stdio(false);
	//cin.tie(0); cout.tie(0);
	while (~(scanf("%d %d",&m,&n))) {
		memset(dp, 0, sizeof(dp));
		memset(p, 0, sizeof(p));
		memset(Max, 0, sizeof(Max));
		for (int i = 1; i <= n; i++) {
			cin >> p[i];
		}
		int ans = 0;
		for (int i = 1; i <= m; i++) {
			ans = -1e9;
			for (int j = i; j <= n; j++) {
				dp[j] = max(dp[j - 1] + p[j], Max[j - 1] + p[j]);
				Max[j - 1] = ans;
				ans = max(ans, dp[j]);
			}
		}
		printf("%d\n", ans);
	}
	return 0;
}

还有一个核心十分巧妙
将目标进行转换
Problem Description
Speakless很早就想出国，现在他已经考完了所有需要的考试，准备了所有要准备的材料，于是，便需要去申请学校了。要申请国外的任何大学，你都要交纳一定的申请费用，这可是很惊人的。Speakless没有多少钱，总共只攒了n万美元。他将在m个学校中选择若干的（当然要在他的经济承受范围内）。每个学校都有不同的申请费用a（万美元），并且Speakless估计了他得到这个学校offer的可能性b。不同学校之间是否得到offer不会互相影响。“I NEED A OFFER”，他大叫一声。帮帮这个可怜的人吧，帮助他计算一下，他可以收到至少一份offer的最大概率。（如果Speakless选择了多个学校，得到任意一个学校的offer都可以）。

Input
输入有若干组数据，每组数据的第一行有两个正整数n,m(0<=n<=10000,0<=m<=10000)
后面的m行，每行都有两个数据ai(整型),bi(实型)分别表示第i个学校的申请费用和可能拿到offer的概率。
输入的最后有两个0。

Output
每组数据都对应一个输出，表示Speakless可能得到至少一份offer的最大概率。用百分数表示，精确到小数点后一位。

Sample Input

Sample Output

44.0%

Hint
You should use printf("%%") to print a ‘%’.

#define _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;

int n, m;
int price[10005];
double pos[10005];
double dp[10005];
int main() {
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0); cout.tie(0);
	while (cin >> n >> m ) {
		if (n == 0 && m == 0)break;
		for (int i = 1; i <= m; i++) {
			scanf("%d %lf", &price[i], &pos[i]);
		}
		fill(dp, dp + 10005, 1);
		for (int i = 1; i <= m; i++) {
			for (int j = n; j >= price[i]; j--) {
				dp[j] = min(dp[j], dp[j - price[i]] * (1 - pos[i]));
			}
		}
		double ans = (1 - dp[n]) * 100;
		printf("%.1lf%%\n", ans);
	}
	return 0;
}