优化二进制

最近在复习背包问题， 有重新想了一下二进制优化的背包问题， 我们为了保证答案的正确性， 首先要满足两个条件， 第一个条件是分成的几个数要满足相加和为n， 第二个条件是这几个数中要能够组成任意1 ~ n中任意的数字。

对于一个二进制数， 我们的枚举的方案， 首先是1，然后是10， 然后是100， 1000， 他们之间拼凑可以拼成任一个1111以内的数字， 推广至一般的二进制数， 看一个例子， 101， 这个数字在11 之前的数字一定都能够枚举出来，就是用1， 和10， 当然在101 和 11 之间的数字又该怎么办呢， 首先我们取这两个数的差值为 x， 我们可以枚举出11 之间的数字， 那么我们也可以枚举出 x ~ x + 11之间的所有数字， 我们右端点就是我们的目标值， 那么我们只要证明x <=11 就能证明二进制枚举的正确性，我们先看x 为何而来， 我们首先是枚举到11 然后发现 111 要比101 大， 如果我们要加上 100 的话， 这就不满足第一条性质了， 也就意味着 x 一定要比 100 小，那么我们就可以证明x <= 11 了。