Floyd判圈算法

Floyd判圈算法

wiki 的介绍

以下是引用 wiki 的介绍：
Floyd判圈算法(Floyd Cycle Detection Algorithm)，又称龟兔赛跑算法(Tortoise and Hare Algorithm)，是一个可以在有限状态机、迭代函数或者链表上判断是否存在环，求出该环的起点与长度的算法。

如果有限状态机、迭代函数或者链表存在环，那么一定存在一个起点可以到达某个环的某处(这个起点也可以在某个环上)。

初始状态下，假设已知某个起点节点为节点S。现设两个指针t和h，将它们均指向S。

接着，同时让t和h往前推进，但是二者的速度不同：t每前进1步，h前进2步。只要二者都可以前进而且没有相遇，就如此保持二者的推进。当h无法前进，即到达某个没有后继的节点时，就可以确定从S出发不会遇到环。反之当t与h再次相遇时，就可以确定从S出发一定会进入某个环，设其为环C。

如果确定了存在某个环，就可以求此环的起点与长度。

上述算法刚判断出存在环C时，显然t和h位于同一节点，设其为节点M。显然，仅需令h不动，而t不断推进，最终又会返回节点M，统计这一次t推进的步数，显然这就是环C的长度。

为了求出环C的起点，只要令h仍均位于节点M，而令t返回起点节点S，此时h与t之间距为环C长度的整数倍。随后，同时让t和h往前推进，且保持二者的速度相同：t每前进1步，h前进1步。持续该过程直至t与h再一次相遇，设此次相遇时位于同一节点P，则节点P即为从节点S出发所到达的环C的第一个节点，即环C的一个起点。

个人理解

判断是否有环

放一个快指针fast与慢指针slow在链表头部，快指针每次移动两步，慢指针移动一步。如此移动下去只会有两个结果：

• 快指针走到链表尾部。即不存在环

  

  【图1】

• 快慢指针在环内相遇。即存在环

  

  【图2】

求入环节点

那么如何上面已知环存在的基础上，求环的入口节点呢？

【图3】

一些数学推导(参考网上)

假设，环外长$a$，环长为$L=b+c$ ，当slow刚进入环时，fast指针位于环内的$x$点处，距离环入口长度$b$ 见【图3】。则fast追上slow的距离为$d=L-b$

已知：

• slow指针速度为 1/s;fast指针速度为 2/s 。因此fast与slow的相对移动速度为1/s，即每周期距离缩短一个单位，所以两指针相交共需要$\frac{L-b}{1/s}$个移动周期
• 由于slow每周期移动一个单位，所以与fast相遇时slow需要在环内移动$L-b$个单位，也就是说，在入环口处慢>指针再走$L-b$个单位就可到达相交点
• 观察$d$取最大值的情况，即当$b=0$时，此时slow刚到环的入口就与fast相交，因此环内的追击距离为$0$
• 其他