【应用随机过程】05. 泊松过程

第五讲 泊松过程

一、泊松过程的两种定义

Part 1：独立增量与平稳增量

对于任意一个随机过程，我们先了解一下增量的概念，这一概念在泊松过程和布朗运动中都会用到。

设 { X ( t ) : t ∈ T } \{X(t):t\in T\} { X(t):t∈T} 是随机过程，参数空间 $T$ 是 $\mathbb{R}$ 的子集，对任意的 $s<t$ ，将 $X(t)-X(s)$ 称为此过程在时间区间 $(s,t]$ 上的增量。在此基础上，我们可以定义独立增量过程和平稳增量过程。

独立增量过程：对于随机过程 { X ( t ) : t ∈ T } \{X(t):t\in T\} { X(t):t∈T} ，如果对任意 $k\ge 2$ 和 $t_0<t_1<t_2<\cdots <t_k$ 有
$$X(t_1)-X(t_0),X(t_2)-X(t_1),\cdots ,X(t_k)-X(t_{k-1})$$
相互独立，则称 { X ( t ) : t ∈ T } \{X(t):t\in T\} { X(t):t∈T} 为独立增量过程。独立增量过程的特点是：在不相重叠的时间段上，状态的增量是相互独立的。

平稳增量过程：对于随机过程 { X ( t ) : t ∈ T } \{X(t):t\in T\} { X(t):t∈T} ，如果对任意的 $h\in \mathbb{R}$ 和任意的 $s<t$ 都有
$$X(t+h)-X(s+h)\stackrel{d}{=}X(t)-X(s),$$
则称 { X ( t ) : t ∈ T } \{X(t):t\in T\} { X(t):t∈T} 为平稳增量过程。平稳增量过程的特点是：增量 $X(t)-X(s)$ 的分布仅依赖与时间差 $t-s$ 而与 $s$ 和 $t$ 无关。

平稳独立增量过程：如果随机过程 { X ( t ) : t ∈ T } \{X(t):t\in T\} { X(t):t∈T} 既是独立增量过程，又是平稳增量过程，则称随机过程 { X ( t ) : t ∈ T } \{X(t):t\in T\} { X(t):t∈T} 为平稳独立增量过程。

这里我们需要介绍一条关于独立增量过程的十分有用的性质。

如果 { X ( t ) : t ∈ T } \{X(t):t\in T\} { X(t):t∈T} 是独立增量过程，$X(0)=0$ 且二阶矩存在，则
C X ( s , t ) = σ X 2 ( min ⁡ { s , t } ) = d e f σ X 2 ( s ∧ t )   . C_X(s,t)=\sigma_X^2\left(\min\{s,t\}\right)\xlongequal{def}\sigma_X^2\left(s\wedge t\right) \ . CX​(s,t)=σX2​(min{ s,t})def σX2​(s∧t) .

证明：当 $s=t$ 时，等式显然成立。不妨设 $s<t$ ，则
$$\begin{array}{rl}{C}_X(s,t)& =\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}\left(X(s),X(t)\right)\\ & =\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}\left[X(s)-X(0),(X(t)-X(s)+X(s)-X(0))\right]\\ & =\mathrm{C}\mathrm{o}\mathrm{v}\left[X(s)-X(0),X(t)-X(s)\right]+\mathrm{V}\mathrm{a}\mathrm{r}(X(s)-X(0))\\ & ={\sigma }_X^2(s).\end{array}$$

Part 2：计数过程与泊松过程

泊松过程是通过计数过程定义的，所以在介绍泊松过程之前，我们先介绍一下计数过程。若 $N(t)$ 表示到 $t$ 时刻为止已发生的事件的总数，则称随机过程 { N ( t ) : t ≥ 0 } \{N(t):t\geq0\} { N(t):t≥0} 为计数过程。计数过程是一个状态空间为非负整数的具有连续时间的随机过程，显然计数过程具有如下性质：

1. $N(t)\ge 0$ 且 $N(t)$ 是整数值；
2. 若 $s<t$ ，则 $N(s)\le N(t)$ ；
3. 若 $s<t$ ，则 $N(t)-N(s)$ 等于区间 $(s,t]$ 中发生的事件的个数。

泊松过程是计数过程的最重要的类型之一，我们可以从两个角度去定义泊松过程。

泊松过程的第一种定义：计数过程 { N ( t ) : t ≥ 0 } \{N(t):t\geq0\} { N(t):t≥0} 称为参数为 $\lambda$ 的齐次泊松过程，如果满足以下条件：

1. $N(0)=0$ ；
2. { N ( t ) : t ≥ 0 } \{N(t):t\geq0\} { N(t):t≥0} 是独立增量过程；
3. 稀有性：$P(N(t+h)-N(t)=1)=\lambda h+o(h)$ ；
4. 相继性：$P(N(t+h)-N(t)\ge 2)=o(h)$ 。

我们将稀有性和相继性合并在一起理解，其含义是在充分小的时间间隔内，几乎不可能同时发生两个及以上个事件。

回顾一下在数学分析中函数的无穷小量的定义：如果一个函数 $f(x)$ ，满足
$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{f(x)}{x}=0,$$
则称函数 $f(x)$ 是 $x$ 的高阶无穷小量，或称函数 $f(x)$ 是 $o(x)$ 的。

泊松过程的第二种定义：计数过程 { N ( t ) : t ≥ 0 } \{N(t):t\geq0\} { N(t):t≥0} 称为参数为 $\lambda$ 的齐次泊松过程，如果满足以下条件：

1. $N(0)=0$ ；
2. { N ( t ) : t ≥ 0 } \{N(t):t\geq0\} { N(t):t≥0} 是独立增量过程；
3. 对任意的 $0\le s<t$ ，都有 $N(t)-N(s)\sim P(\lambda (t-s))$ 。

由此泊松分布条件可知泊松过程也是平稳增量过程，称参数 $\lambda$ 为泊松过程的速率或强度。

Part 3：泊松过程两种定义的等价性证明

下面我们给出两种定义的等价性证明，这部分内容欣赏即可，不要求掌握。

首先证明 $⟸$

由第二种定义的泊松分布条件可知 $N(t+h)-N(t)\sim P(\lambda h)$ ，于是
$$\begin{array}{rl}P(N(t+h)-N(t)=1)& =\lambda h{e}^{-\lambda h}=\lambda h(1-\lambda h+o(h))=\lambda h+o(h)\\ & \\ P(N(t+h)-N(t)\ge 2)& \\ & \\ & \\ & \end{array}$$