平方数之和

题目

给定一个非负整数 c ，你要判断是否存在两个整数 a 和 b，使得 a² + b² = c 。

示例 1：

输入：c = 5
输出：true
解释：1 * 1 + 2 * 2 = 5

示例 2：

输入：c = 3
输出：false

示例 3：

输入：c = 4
输出：true

示例 4：

输入：c = 2
输出：true

示例 5：

输入：c = 1
输出：true

提示：

0 <= c <= 231 - 1

题解

方法一：sqrt 函数

class Solution {
    public boolean judgeSquareSum(int c) {
    	// long型避免int类型溢出（c有范围）
        for(long a=0;a*a<=c;a++){
            double b=Math.sqrt(c-a*a);
            //判定其是否为整数
            if(b==(int)b){
                return true;
            }
        }
        return false;
    }
}

复杂度分析

• 时间复杂度：O（根号c）

  • 枚举 a的时间复杂度为O（根号c）
    对于每个 a的值，可在 O(1)的时间内寻找 b。

• 空间复杂度：O(1)。

方法二：双指针

假设 a≤b。初始时 a=0，b =根号c
，进行如下操作：

• 如果 a² + b² = c，找到一个解，返回 true；
• 如果 a² + b² <c，将 a的值加 111，继续查找；
• 如果 a² + b² >c，将 b 的值减 111，继续查找。

当 a=b时，结束查找
此时如果仍然没有找到整数 a 和 b 满足 a² + b² = c，
则说明不存在题目要求的解，返回false。

class Solution {
    public boolean judgeSquareSum(int c) {
        long left = 0;
        long right = (long) Math.sqrt(c);
        while (left <= right) {
            long sum = left * left + right * right;
            if (sum == c) {
                return true;
            } else if (sum > c) {
                right--;
            } else {
                left++;
            }
        }
        return false;
        // int a=0;long b=(int)Math.sqrt(c);  
        // while(a<=b){
        //     if(a*a+b*b==c){
        //         return true;
        //     }else if(a*a+b*b<c){
        //         a++;
        //     }else{
        //         b--;
        //     }  
        // }
        //  return false;
    }
}

复杂度分析

• 时间复杂度：O（根号c）
  • 最坏情况下 a 和 b一共枚举了 0 到根号c里的所有整数。
• 空间复杂度：O(1)。

方法三：费马平方和定理

一个非负整数 c如果能够表示为两个整数的平方和，当且仅当 c 的所有形如 4k+3 的质因子的幂均为偶数。

证明：https://wstein.org/edu/124/lectures/lecture21/lecture21/node2.html

• 对c进行质因数分解，
• 判断所有的关于4k+3的质因子的幂是否均为偶数

class Solution { 
	public boolean judgeSquareSum(int c) { 
		for (int base = 2; base * base <= c; base++) { 
			// 如果不是因子，枚举下一个 
			if (c % base != 0) { 
				continue;
			}
			// 计算 base 的幂 
 			int exp = 0; 
			while (c % base == 0) {
 				c /= base; 
 				exp++; 
 			} 
  			// 根据 Sum of two squares theorem 验证 
  			if (base % 4 == 3 && exp % 2 != 0) { 
  			return false; 
  			} 
  		}  
  		// 例如 11 这样的用例，由于上面的 for 循环里 base * base <= c ，base == 11 的时候不会进入循环体 
  		// 因此在退出循环以后需要再做一次判断 
  		return c % 4 != 3; 
  	} 
}

复杂度分析

• 时间复杂度：O(根号c)。

• 空间复杂度：O(1)。
  参考链接：https://leetcode-cn.com/problems/sum-of-square-numbers/solution/shuang-zhi-zhen-de-ben-zhi-er-wei-ju-zhe-ebn3/