本文介绍了Gram-Schmidt正交化方法，首先解释了投影的概念，通过求解投影向量的公式展示了投影的几何意义。接着详细阐述了Gram-Schmidt正交化过程，从一组线性无关的向量开始，逐步构造出正交基，并通过单位化得到正交向量。最后，将该过程用矩阵形式表示，得出QR分解的形式。
投影
问题：将向量bbb向向量aaa投影，求投影得到的向量ppp。
向量ppp可表示为
p=ax^ p = a \hat{x} p=ax^
将原向量bbb和投影得到的向量ppp的差记为
e=b−p=b−ax^ e = b - p = b - a \hat{x} e=b−p=b−ax^
投影的几何意义：误差向量e=b−ax^e = b - a \hat{x}e=b−ax^与向量aaa垂直，即
aT(b−ax^)=0 a^{T} (b - a \hat{x}) = 0 aT(b−ax^)=0
即
aTax^=aTb a^{T} a \hat{x} = a^{T}b aTax^=aTb
求解上式可得
x^=aTbaTa \hat{x} = \frac{a^{T}b}{a^{T} a} x^=aTaaTb
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