概率论 -- 三门悖论

问题描述

三门悖论（三门问题，蒙提霍尔问题，蒙特霍问题，蒙提霍尔悖论）：有三扇门，其中一扇后面是奖，两扇后面是羊。参赛者选定一扇门后，主持人从剩余两扇门中打开一扇后面是羊的门。此时参赛者可以将选择更换为另一扇关闭的门，请问他是否要更换以增大自己选到奖的概率？

正确答案

换。(不更换，获奖概率为1/3；更换，获奖概率为2/3。)

三种思路确定为什么要换？

1. 定量

设奖为A，羊为B1、B2，参赛者最初选定的门为第一扇门：

最初排列	参赛者初选	打开一扇是羊的门后剩下的门	更换选择
A  B1  B2	A	B1 或 B2	B1 或 B2
A  B2  B1	A	B1 或 B2	B1 或 B2
B1  A  B2	B1	A	A
B1  B2  A	B1	A	A
B2  A  B1	B2	A	A
B2  B1  A	B2	A	A

可以看到：坚持初选，获奖概率 = 2/6 = 1/3；更换选择，获奖概率 = 4/6 = 2/3

2. 定性

        考虑两种情况：

① 如果参赛者初选后，主持人不排除后面是羊的一扇门，直接问参赛者要不要考虑更换选择。这种情况下，我们明确知道，换不换获奖概率都是1/3，没有必要换。

② 然而此时，主持人帮助我们派出了一扇后面是羊的门，奖是正面的信息，羊是负面的信息，也就是说此时，主持人的干预帮助参赛者排除了负面信息。

        两种情况对比，①中主持人不帮助排除任何负面信息，②中主持人帮助排除了部分负面信息。所以换这个操作在②中相比于①对选中奖更有利。那么，既然①中换与不换，获奖概率不变；②中选择换，就有更大的获奖概率。

        说白了：不帮你排除信息，换与不换是持平的；那么帮你排除信息了，换就比不换赚。

3. 极限思想

        假设有一万扇门，后面是1个奖和9999只羊，参赛者最初选定666号门，主持人帮忙排除了9998扇后面是羊的门，只留下来945号门，此时问参赛者要不要换？

        这种情况下，我们还会觉得自己最初选的666和剩下的945获奖概率一样吗？我们应该明白，坚持666，获奖概率是万分之一；但是945竟然从9999扇门中“存活”了下来，一定是很有说法的。这种场景下，我们凭直觉也是要换的。

        (何况 945 和 “就是我” 是谐音呢？)