近似的同态比较：简单多项式的迭代计算

参考文献：

1. [Gold64] Goldschmidt R E. Applications of division by convergence[D]. Massachusetts Institute of Technology, 1964.
2. [CKKLL19] Cheon J H, Kim D, Kim D, et al. Numerical method for comparison on homomorphically encrypted numbers[C]//International Conference on the Theory and Application of Cryptology and Information Security. Cham: Springer International Publishing, 2019: 415-445.
3. [CKK20] Cheon J H, Kim D, Kim D. Efficient homomorphic comparison methods with optimal complexity[C]//Advances in Cryptology–ASIACRYPT 2020: 26th International Conference on the Theory and Application of Cryptology and Information Security, Daejeon, South Korea, December 7–11, 2020, Proceedings, Part II 26. Springer International Publishing, 2020: 221-256.
4. [LLNK21] Lee E, Lee J W, No J S, et al. Minimax approximation of sign function by composite polynomial for homomorphic comparison[J]. IEEE Transactions on Dependable and Secure Computing, 2021, 19(6): 3711-3727.
5. [LLKN22] Lee E, Lee J W, Kim Y S, et al. Optimization of homomorphic comparison algorithm on rns-ckks scheme[J]. IEEE Access, 2022, 10: 26163-26176.

CKKS 方案只能计算多项式，但是符号函数是阶跃的，难以表示为简单多项式。如果采取完全的插值，随着精度提高，多项式的度数将会是指数级。[CKK20] 提出可以通过迭代一个或两个简单多项式，来快速逼近符号函数，它达到了渐进最优。[LLNK21] 使用若干个 minimax approximate polynomials 的组合来逼近符号函数，用动态规划算法确定它们，实际效率更好。[LLKN22] 继续改进，但提升并不算大。

New Comparison Algorithm

Idea

待计算的两个函数，关系为 $comp(a,b)=(sgn(a-b)+1)/2$
$$\begin{array}{rl}sgn(x)& =\{\begin{array}{rlr}1,& & x>0\\ 0,& & x=0\\ -1,& & x<0\end{array}\\ comp(a,b)& =\{\begin{array}{rlr}1,& & a>b\\ 1/2,& & a=b\\ 0,& & a<b\end{array}\end{array}$$
在 [CKKLL19] 中指出如下的公式，
$$comp(a,b)=\underset{k\to \infty }{\lim }\frac{a^k}{a^k+b^k}$$
可以使用迭代算法，

1. 初始化 $a_0=a,b_0=b$
2. 迭代计算 $a_{k+1}\leftarrow a_k^2/(a_k^2+b_k^2)$ 和 $b_{k+1}\leftarrow a_k^2/(a_k^2+b_k^2)$
3. 输出 $a_d=a^{2^d}/(a^{2^d}+b^{2^d})\approx comp(a,b)$

然而这种方法需要计算同态除法，同态方案并不自然支持。[CKKLL19] 使用了 Goldschmidt’s division 算法，但效率很低。

[CKK20] 的目标是找到一个好的简单多项式，并且它的迭代过程中不需要计算除法。首先将 [CKKLL19] 的迭代函数修改为 $f(x)=$