数学知识学习之——商空间(Quotient Spaces)

数学知识学习之——商空间(Quotient Spaces)

1 定义

商空间(Quotient Spaces)是线性代数中的知识，本质是定义了一个向量空间中满足特定条件的子空间。

首先，定义向量等价的概念：对于某个域$\mathbb{F}$，$V$是$\mathbb{F}$上的一个向量空间，设其存在一个子空间$W$，即$W\subseteq V$，若存在属于$V$的向量$v_1,v_2\in V$，假如二者存在如下关系：
$$v_1-v_2\in W$$
则认为$v_1,v_2$等价，记为$v_1\sim v_2$。向量等价具有推广性，若${v_1} \sim {v_2} ，{v_2} \sim {v_3} $，则${v_1} \sim {v_3} $。

对于属于$V$的向量$v\in V$，可以自然地定义其等价向量的集合为：
v‾=v+W={ v+w:w∈W} \overline{v} = v + W = \lbrace v + w : w \in W \rbrace v=v+W={ v+w:w∈W}
称为$v$的等价类。注意，根据向量等价的推广性，所有等价向量的1等价类都是相同的，即当$v_1\sim v_2$时，$\overline{v_1}=\overline{v_2}$，代表的都是同一个等价类。

向量空间$V$关于$W$的所有等价类的集合，称为商空间，记作：
V/W={ v‾:v∈V} V/W = \{ \overline{v} : v \in V \} V/W={ v:v∈V}

**Example:**对于$V\in {\mathbb{R}}^2$，W=R∗(0,1)W = \mathbb{R} * (0, 1)W=R∗(0,<