统计知识基础（一）几种重要分布

正态分布

用Y表示表示随机变量，若其服从均值为$\mu$,方差为${\delta }^2$的分布规律，则称其为正态分布
$$Y\sim N\left(\mu ,{\delta }^2\right)$$
经常用在自然和社会科学来代表一组不明的随机变量，正态分布的数学期望为$\mu$，决定了其分布的位置，其方差${\delta }^2$或标准差$\delta$决定了分布的幅度。
正态分布的概率密度函数为
$$f(x)=\frac{1}{\delta \sqrt{2\pi }}{e}^{-}\frac{{\left(x-\mu \right)}^2}{2{\delta }^2}$$

标准正态分布

标准正态分布是当$\mu =0$，${\delta }^2=1$时的正态分布，即$Y\sim N\left(0,1\right)$。

 正态分布$\left(\mu ,{\delta }^2\right)$函数曲线下的面积:
 68.27%的面积在平均值左右的一个标准差范围内
 95.45%的面积在平均值左右两个标准差2σ的范围内
 99.73%的面积在平均值左右三个标准差3σ的范围内
 99.99%的面积在平均值左右四个标准差4σ的范围内

根据正态分布衍生的三大分布

1. ${\chi }^2$ 分布

在很久以前，通过看其他资料或者其他形式了解的时候，总是有点半懵的状态，根绝略懂又又些不太懂（可能我比较笨一点），都是因为它们表示得太抽象，难以理解。其实卡方分布可以简单的理解为一句话：n个服从标准正态分布的随机变量的平方和构成一新的随机变量。
设 随机变量Y1,Y2,…Yn相互独立, 都服从标准正态分布N(0,1), 则称随机变量$Y^2=Y_1^2+Y_2^2+......+Y_n^2$所服从的分布为自由度为 n 的$Y^2$分布。其中n称为自由度（样本中独立或能自由变化的自变量的个数）当总体$Y\sim N\left(\mu ,{\delta }^2\right)$，从中抽取容量为$n$的样本时,则
$$\frac{\sum _{i=1}^n{\left(X_i-\bar{X}\right)}^2}{{\delta }^2}\sim {\chi }^2\left(n-1\right)$$
卡方分布的密度函数为
$$f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{2^{n/2}\Gamma \left(n/2\right)}{e}^{-\frac{x}{2}}{x}^{\frac{n}{2}-1}& \text{x>0}\\ & \\ 0& \text{x≤0}\end{array}$$

卡方分布有以下特点：
1.分布的变量值始终为正；
2.随着参数 n 的增大，分布趋近于正态分布；
3.期望为，$E({\chi }^2)=n$，方差为：$D({\chi }^2)=2n$($n$为自由度);
4.可加性，若存在$A\sim {\chi }^2(n_1)$和$B\sim {\chi }^2(n_2)$这样的两个卡方分布，则A+B也服从自由度为$n_1+n_2$的卡方分布。

2. $t$ 分布

假设有两组随机变量：
随机变量$X$服从标准正态分布$N(0,1)$
随机变量$Y$服从自由度为$n$的卡方分布${\chi }^2(n)$
$X$与$Y$独立，则由服从不同分布的两组随机变量衍生成新的随机变量$t$，且满足一下条件
$$t=\frac{X}{\sqrt{Y/N}}$$
则称$t$为服从自由度为$n$的$t$分布或学生氏分布。其密度函数为：
$$f(x)=\frac{\Gamma \left(\frac{n+1}{2}\right)}{\sqrt{n\pi }\Gamma (n/2)}{\left(1+\frac{x^2}{n}\right)}^{-\frac{n+1}{2}}$$

也是随着自由度逐渐增大，t分布逐渐接近标准正态分布。

3. $F$ 分布

假设有两组随机变量$U$、$V$，且$U\sim {\chi }^2(n_1)$，$V\sim {\chi }^2(n_2)$，$U$、$V$相互独立，当
$$F=\frac{U/n_1}{V/n_2}$$
则称$F$为服从自由度为$n_1$，$n_2$的$F$分布，记为$F\sim F(n_1,n_2)$
其密度函数为：
$$f_{n_1,n_2}(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{\Gamma \left(\frac{n_1+n_2}{2}\right)}{\Gamma \left(\frac{n_1}{2}\right)\Gamma \left(\frac{n_2}{2}\right)}{n}_1^{\frac{n_1}{2}}{n}_2\frac{n_2}{2}{x}^{\frac{n_1}{2}-1}(n_2+n_{1}x{)}^{-\frac{n_1+n_2}{2}}& \text{x>0}\\ & \\ 0& \text{x≤0}\end{array}$$
图示

以上就是统计学中几种比较常见、重要的分布的简单概述，讲到的都是比较浅层的东西，没人深入的透析，而且语言比较通俗。
下一篇总结一下点估计，区间估计和中心极限定理。