Frechet 导数

Frechet 导数

设 $X$, $Y$ 是赋范向量空间, 记
L(X,Y)={L:X→Y,且L是线性有界映射}, \mathcal{L}(X,Y) =\left\{ L:X\rightarrow Y,\text{且}L\text{是线性有界映射} \right\} , L(X,Y)={L:X→Y,且L是线性有界映射},
定义 $L$ 的范数为 $\Vert L\Vert =\underset{{\Vert x\Vert }_X\le 1}{\sup }{\Vert L\left(x\right)\Vert }_Y$.

【定义1.1】 (Frechet可微) 设 $\Omega$ 是 $X$ 的开子集, 我们称映射 $f:\Omega \to Y$ 在 $x_0\in \Omega$ 是Frechet可微的, 如果: 存在 $L\in \mathcal{L}(X,Y)$ 和 $\epsilon :X\to Y$, 使得 $$f\left(x\right)-f\left(x_0\right)=L\left(x-x_0\right)+\epsilon \left(x-x_0\right),\forall x\in \Omega ,$$ 其中 $\epsilon$ 满足 $\underset{{\Vert x\Vert }_X\to 0}{\lim }\frac{{\Vert \epsilon \left(x\right)\Vert }_Y}{{\Vert x\Vert }_X}=0$.

【Remark 1】等价定义是
$$\frac{{\Vert f\left(x\right)-\left(f\left(x_0\right)+L\left(x-x_0\right)\right)\Vert }_Y}{{\Vert x-x_0\Vert }_X}\to 0.$$

【Remark 2】 $L$ 是唯一的, 且称之为 Frechet 导数, 记作 $L=\mathrm{d}f(x_0)$ 或 $Df(x_0)$ 或 $f^{\prime }(x_0)$.

【Remark 3】(高阶可微) 我们称 $f$ 在 $x_0$ 是 $2$ 阶 Frechet 可微的, 如果 (1) $f$ 在 某个 $U(x_0,\delta )$ 可微; (2) $x\to \mathrm{d}f$ 作为 $U\to \mathcal{L}(X,Y)$ 映射在 $x_0$ 可微, 且有 ${\mathrm{d}}^{2}f\in \mathcal{L}(X,\mathcal{L}(X,Y))=:{\mathcal{L}}^2(X,Y)$.

同理, 有 ${\mathrm{d}}^{m}f\in {\mathcal{L}}^m(X,Y)$, 可以看出
Lm(X,Y)={L:Xm→Y,L是m线性且有界的}. \mathcal{L} ^m\left( X,Y \right) =\left\{ L:X^m\rightarrow Y,L\text{是}m\text{线性且有界的} \right\}. Lm(X,Y)={L:Xm→Y,L是m线性且有界的}.

【Remark 4】若 $f\in C^m(\Omega ,Y)$, 则 ${\mathrm{d}}^{m}f(x_0)$ 是 $m$ 对称的.

【Remark 5】 如果 $Y$ 是 Banach 空间, 则有微积分基本定理成立. 若 $g\in C^1((a,b),Y)$, 则有
$$g(y)-g(x)={\int }_x^y{g}^{\prime }(t)\mathrm{d}t.$$

【Remark 6】中值定理, 不一定成立.

【推论】(中值不等式) 若 $g:[a,b]\to Y$ 是连续、可微, 则有
$$\Vert g\left(y\right)-g\left(x\right)\Vert \le \left|x-y\right|\cdot \underset{0<t<1}{\sup }\Vert g^{\prime }\left(x+t\left(y-x\right)\right)\Vert .$$
此外, 若 $g\in C^1$, 那么
$$\Vert g\left(y\right)-g\left(x\right)-g^{\prime }\left(y-x\right)\Vert \le \left|x-y\right|\cdot \underset{0<t<1}{\sup }\Vert g^{\prime }\left(x+t\left(y-x\right)\right)-g^{\prime }\left(x\right)\Vert .$$

证明: 设 $M=\underset{0<t<1}{\sup }\Vert g^{\prime }\left(x+t\left(y-x\right)\right)\Vert$, 记
E={0≤t≤1:∥g(x+t(y−x))−g(x)∥≤Mt∣y−x∣}, E=\left\{ 0\le t\le 1:\left\| g\left( x+t\left( y-x \right) \right) -g\left( x \right) \right\| \le Mt\left| y-x \right| \right\} , E={0≤t≤1:∥g(x+t(y−x))−g(x)∥≤Mt∣y−x∣},
显然 $E$ 是闭集, 且 $0\in E$, 记其最大值为 $t_0$, 下证 $t_0=1$: 假设 $t_0\ne 1$, 则有 $\epsilon \ll 1$ 使得 $t_0+\epsilon <1$ 及 $\epsilon <t_0$, 故
$$\begin{array}{rl}\Vert g\left(x+\left(t_0+\epsilon \right)\left(y-x\right)\right)-g\left(x\right)\Vert \le & \Vert g\left(x+\left(t_0+\epsilon \right)\left(y-x\right)\right)-g\left(x+t_0\left(y-x\right)\right)\Vert \\ & +\Vert g\left(x+t_0\left(y-x\right)\right)-g\left(x\right)\Vert \\ \le & M\epsilon \left|y-x\right|+M{t}_0\left|y-x\right|=M\left(t_0+\epsilon \right)\left|y-x\right|.\end{array}$$
这说明 $t_0+\epsilon \in E$, 矛盾, 因此 $t_0=1$, 中值不等式证明完成.

此外, 我们设 $v\in Y$, 定义 $f\left(y\right)=g\left(y\right)-vy$, 则有
$$\Vert g\left(y\right)-g\left(x\right)-v\left(y-x\right)\Vert \le \left|y-x\right|\cdot \sup \Vert g^{\prime }\left(x+t\left(y-x\right)\right)-v\Vert .$$
此处可取 $v=g^{\prime }(x)$.

【推论】($C^1$ 条件) 令 D⊂SX1={x∈X:∥x∥≤1}D \subset S_X^1 =\{x \in X: \left\| x \right\| \le 1\}D⊂SX1​={x∈X:∥x∥≤1}, s.t. $\overline{\mathrm{span}(D)}=X$. 则 $f\in C^1(\Omega ,Y)$ 当且仅当:
(1) $f$ 是连续的;
(2) 映射 $t\to f(x+t\hat{x})$ 是在 {t:x+tx^∈Ω}\{t:x+t\hat{x}\in\Omega\}{t:x+tx^∈Ω} 上可微的, 对任意 $\hat{x}\in D$ 成立;
(3) 存在 $g:\Omega \to \mathcal{L}(X,Y)$ 使得 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}f(x+t\hat{x})=g(x+t\hat{x})$.