非线性算子

非线性算子

又称非线性映射，不满足线性条件的算子。泛函分析的研究对象主要是 线性算子 及其特殊情况线性泛函。但是，自然界和工程技术中出现的大量问题都是非线性的。数学物理中的一些线性方程其实都是在一定条件下的近似。为研究这些非线性问题，涉及到的算子(映射)将不能只局限于线性算子。人们从两种不同的途径研究非线性问题：①针对具体问题，考察具体非线性算子的特征，解释非线性现象。②从一般的算子概念出发，添加适当的分析、拓扑或代数性质导出一些一般性的结论。
　　代数、几何、拓扑中各种非线性映射是形形色色的，分析学中经常遇到的非线性算子则大抵由乘法、函数的复合以及各种线性算子组合而成。常见的非线性积分算子有:乌雷松算子 其中K(x,y，t)是 0≤x，y≤1，t∈R1上的连续函数;沃尔泰拉算子， ;哈默斯坦算子 · ，其中K 是【0,1】×【0,1】上某p次可积函数，?(y,t)在【0,1】×R1上可测，对固定的y关于t连续。常见的微分算子有:KdV算子 ,极小曲面算子 ,蒙日－安培算子 等。
　　许多非线性算子出现于非线性方程之中，从而有关非线性算子的理论就围绕着非线性方程的求解的研究而展开。设T是从 B 空间（巴拿赫空间）X到 B 空间Y的算子，设y∈Y，求解x∈X，满足：
　　　(1)
有时特别地考察y=θ（θ是Y 中的零元）的情形，称解x为T的零点。显然，若T是一个满射，则(1)总有解,于是人们讨论在什么条件下T具有满射性.又若X=Y，方程(1)的求解问题有时化归寻求算子T1x = Tx+x-y的不动点
　　　(2)
的问题。这样提问题有助于利用几何直观。
　　和线性方程的解集总是仿射集(线性子空间的平移)不同，方程(1)的解集构造很复杂，它可能对某些y是空集，而对另一些y则非空。其个数可能只有一个,可能有有穷多个，也可能有无穷多个；可能是孤立的，可能有聚点，也可能是连续统。
　　以X为定义域，取值为Y（映X入Y中）的子集的映射，称为集值映射。相应于(1)的求解问题写成下列从属关系：
　　　(3)
　　算子的微分学 　从分析上研究一般算子的途径是把数学分析中研究函数的微积分学推广到算子。设X、Y都是 B 空间，U是X中的一个开集,?:U→Y,称?在x0∈U连续，是指 相应于方向导数概念的是加托导数，简作G导数。称?在x0处G可微,是指对任意的h∈X，存在d?(x0,h∈Y，使得
，
当t→0,x0+th∈U。称d?(x0,h)为?在x0处沿方向h的G导数。相应于全微分概念的是弗雷歇导数，简作 F导数。称?在x0处F可微,是指存在 A ∈L(X,Y),(L(X,Y)表示X到Y的线性有界算子空间)X→Y是线性有界算子空间，使得对任意的h∈X，当x0+h∈U时，有

当h→θ。称 A 为?在x0处的F导数，并且记作?┡(x0)。
　　G可微与F可微之间的关系如下:①若?:U→Y在x0∈U处F可微,则?在x0必G可微,并且 ,任意的h∈X。②设 ?:U→Y 在 U 内 G可微,且d?(x,h)关于h线性，即d?(x,·∈L(X，Y)，任意的x∈U。如果d?(x,·)还是关于x连续的，那么?在x∈U是F 可微的。
　　算子的微分学与函数的微分学很相似。
　　① 锁链法则　设X、Y、Z、是 B 空间，U嶅X，V嶅Y是开集。若?:U→Y F可微；g:V→Z F可微；且?(U)嶅V，则g。?在U内F可微，并且

　　② 中值不等式　设 ?:U →Y F 可微，又设线段

则 。
　　③ 反函数定理　设 ?:U→Y在 U上有连续的F 导数?┡(x),又若 式中x0∈U，则?是x0的一个邻域到?(x0)的一个邻域的微分同胚，并且

　　④ 隐函数定理　设 X、Y、Z 是 B 空间，O 是X×Y中的一个开集，(x0,y0∈O，又设?:O→Z连续，满足： ,?在O上关于y的F导数?┡(x,y)是连续的，并且 ，则必存在x0的一个邻域U和y0的一个邻域V，以及惟一的连续映射φ:U→V，满足

　　隐函数定理与反函数定理对于求解算子方程 (1)有十分重要的意义。它们表明：对于具有连续导数的一般非线性算子，只要在一点上，它的线性化方程是可解的（在一定意义下），那么它在这点附近便是可解的。许多非线性方程的局部可解性理论都基于这一基本事实。
　　为了近似求解方程，?(x)=θ，数学分析里的牛顿求根法，也被推广。在准确解x*∈U的邻近任取x0∈U，构作迭代序列：
n=0,1,2,…，可以证明：xn→x*。
　　然而，反函数定理有时不够用,其中的条件 不满足。这种情形在一些微分方程理论中出现，例如，线性算子?┡(x0)-1不能保持值域中的函数足够光滑。为此，J.K.莫泽修改了牛顿求根法的迭代格式，并用它来推广反函数定理。由此发展起来的一套技巧在好几个重要的问题中非常有效。例如小除数问题、黎曼流形的嵌入问题等，被称之为纳什－莫泽技巧。
　　反函数定理给出了 ?成为局部同胚的条件。为了得到整体性的同胚，仅用微分学是不够的，借助于紧性概念以及拓扑学中的同伦概念可以得到整体的反函数定理：为了使连续映射?是一个同胚,必须且仅须它是局部同胚，并有?是固有的。所谓算子?是固有的，指紧集的原像是紧集。
　　Y=R1或 C 1的映射称为泛函，设φ:U→R1,x0∈U称为它的一个局部极小 (或极大)点，如果φ(x)≥φ(x0)（或φ(x)≤φ(x0)对一切x∈V,其中V是x0的某个邻域。费马原理被自然地推广：设φ在x0∈U达到局部极值,且φ在x0处G可微，则dφ(x0,h)=θ，对任意的h∈X。在变分学中，它对应着泛函极值的必要条件即欧拉方程。
　　一般地,称 φ┡(x0)=θ的点x0为泛函φ的临界点。一个算子T:X→X*（X*表示X的共轭空间）,称为位算子,如果存在φ:X→R1，使得Tx=φ┡(x)。因此,对于位算子,求解问题(1)便化归求泛函φ的临界点（见 变分法 、 大范围变分法 ）。
　　算子高阶导数的概念要求引入多线性算子，实际上，高阶 F导数还是对称的多线性算子。带余项的泰勒公式在形式上与函数的泰勒公式是一样的。
　　积分学也被推广到一般算子。黎曼积分的定义与普通函数的积分定义一样，而勒贝格积分的推广则分强、弱两种,前者称为博赫纳积分,后者称为佩蒂斯积分（见 向量值积分 ）。
　　不动点及可解性 　下面是几类重要的不动点定理。
　　 压缩型算子 　一个最简单、熟知、应用最广泛的不动点定理是压缩映射定理。在一个度量空间(X,d)上,T映X至自身，称其为压缩的,如果d(Tx,Ty)≤αd(x,y)对任意的x,y∈X,式中0<α<1。每个压缩算子在X中必有唯一的不动点。这个不动点可以从任意点x0出发，通过简单迭代法求出。令 ，n=1,2,…，则Xn收敛到不动点。条件α<1一般不能去掉。在定义中若α=1，则称T为非扩张算子。实直线上的一个平移显然是非扩张的，但没有不动点。然而对于一致凸的 B 空间的一个闭、凸、有界子集 C ，若T: C → C 是非扩张的,则T在 C 上必有不动点。对于压缩算子的研究导致下列逆问题：若T:X→X，则在什么条件下能在X中引入可度量化的拓扑，使得T是一个压缩算子。答案是：每个Tn，n=1，2，…,在X中都只有惟一的不动点。
　　 单调算子 　单调算子的概念起源于可微凸泛函的导数。设φ是在B 空间X 上定义的这种函数，则〈φ┡(x)-φ┡(y)，x－y〉≥0，对任意的x,y∈X,其中<，>表示X*与X 之间的对偶。直线上的可微凸函数的导函数是单调不减的，于是就把满足下面这些条件的算子T:X→X*，

称为单调算子，如果α>0则称为强单调算子。自反 B 空间上弱线段连续的强单调算子是 X→X* 的满射(所谓弱线段连续，指对任意的x,y∈X，T(x+ty)→T(x)当 t→0)。这个满射性定理是G.J.明蒂、F.E.布劳德给出的，它在非线性算子半群理论、非线性发展方程以及一类非线性椭圆型方程的存在性理论中经常用到。
　　 紧算子 　在从有穷维到无穷维空间的过渡中，算子的紧性概念起重要的作用。所谓T是紧算子,是指它连续，并映有界闭集入紧集。利用紧性，J.P.绍德尔把布劳威尔不动点定理推广到赋范线性空间：任意一个映非空、有界、闭、凸集 C 于自身的紧算子至少在 C 上有一个不动点。这个定理是一个非常基本的不动点定理。尤其在微分方程理论中，它是证明存在性的一个重要依据。
　　绍德尔不动点定理的另一种形式是把算子的紧性减弱为连续性，而集合 C 则加强要求是紧的。从几何上看，这种形式的不动点的存在问题可以化归更一般的一族集合具有非空交的问题:对任意x∈ C ,令G(x)={y∈ C ｜‖y－Ty‖≤‖x－Ty‖}。显然,若有x0∈∩{G(x)｜x∈ C }，则x0是T的不动点。樊畿在一般拓扑线性空间的子集 A 上考察到这空间的集值映射F。他证明：设F满足对任意的有穷子集 ，又设F(x)是闭子集，并且其中至少有一个是紧的，则∩{F(x)｜x∈ A }≠═。从这定理导出的一系列不动点定理和相交性定理在 对策论 与数理经济学中占据重要的位置。
　　有穷维空间之间的连续映射的拓扑度常被用来估计不动点的个数，它也是证明各种不动点定理的有力工具。 J.勒雷 、绍德尔将这一概念推广到 B 空间上的恒同算子的紧扰动T=Id－K其中K是紧算子。对于有界开集Ω，当p唘T(дΩ)时，记degLS(T,Ω,p)为对应的勒雷－绍德尔度，它具有下列基本性质。①同伦不变性：设Kt在捙×【0,1】上紧,Tt=Id-Kt,当p唘Tt(дΩ)对任意的t∈【0,1】时，则degLS(Tt,Ω,p)=常数。②平移不变性：degLS(T，Ω,p)=degLS(T-p,Ω，θ)。③区域可加性：设开集Ω1，Ω2嶅Ω满足： 且 ，则 ④规范性：

　　涉及到紧性的勒雷－绍德尔度以及由其导出的不动点定理可以推广到一些非紧算子类。由K.库拉托夫斯基的非紧性度量概念规定的一些算子类，例如,α集压缩算子,它包含紧算子为特殊情形,就属这种非紧算子类。此外，对非线性弗雷德霍姆算子也能定义拓扑度，使之保持许多重要性质。后者在无穷维流形的研究中经常要用到。
　　在另一个方向上,勒雷-绍德尔度和有关的不动点定理还被推广到集值映射F，其中F(x)是凸集。
　　 半序结构 　在关序空间( P ,≤)上，一个算子T: P → P 称为是保序的，如果x≤y蕴含了Tx≤Ty对任意的x，y∈ P 。对保序算子也有许多不动点定理,类似于压缩映射定理，在半序结构中有如下结论：若存在b∈ P 使得b≤Tb，且 P 的每个全序子集都有上确界,则T的不动点集非空,且有极大元。这种类型的不动点定理在代数学、自动机理论以及计算方法中很有用。
　　即使在完备度量空间(X，d)上，本来没有半序结构，但可借助于一个实值函数 φ来规定半序。下列不动点定理甚至对算子T没有连续要求。设T:X→X是任一映射,满足：d(x,Tx)≤φ(x)-φ(Tx)，对任意x∈X,式中φ是下半连续的、有下界的实值函数，则T至少有一个不动点。
　　非线性特征值问题 　求解带参数 λ的非线性算子方程
　　　　　(4)
的非零解问题称为非线性特征值问题。这里当然是假定了T(θ,λ)呏θ。对应的λ称为非线性特征值，而解 x≠θ则称为特征元。
　　线性算子方程的特征集合是线性子空间，但一般的非线性算子方程的非零解集 ={(x,λ)|T(x,λ)=θ,x≠θ}的构造却非常复杂。
　　先在局部范围考察集合 。因为(θ,λ)都是(4)的解，所以我们把(θ，λ0)称为方程(4)的分歧点，如果在它的任意一个邻域内都有(4)的非零解。按隐函数定理,可知只要在λ=λ0处的线性化算子Tx(θ，λ0)是非奇异的，并有有界逆，就能断定在(θ，λ0)的一个邻域内(4)没有非零解，即 (θ，λ0)不是分歧点。但即使Tx(θ，λ0)奇异,(θ,λ0)可以是分歧点,也可以不是分歧点。即使是分歧点，在这点附近的解集构造也可能是各种各样的：可以是一列以 (θ，λ0)为聚点的点集,可以是一条连续曲线，也可以是若干条不同的曲线或曲面，如图 （纵坐标表示‖x‖）所示。
　　当T(·,λ0)是弗雷德霍姆算子时， 在(θ, λ0)点附近的行为可以通过一种约化手续化归有穷维方程的研究。至于 的整体行为知道得不多，常用拓扑方法去讨论。
　　希尔伯特空间上紧、位算子的特征值问题可以仿照线性紧、自伴算子的谱理论，通过泛函的极值来研究。当 A 是线性紧自伴算子时,二次函数 在单位球面上的临界点就是 A 的特征元,而特征值是作为拉格朗日乘子出现的。类比于此，当 A 是某个弱连续泛函φ的导算子时，又若 A x≠θ对任意的x≠θ,则存在с≠φ(θ)，使得流形 ，模平方函数‖x‖2在M 0上达到极小值点。这个极小值点就是 A 的特征元,而对应的拉格朗日乘子则是非线性特征值的倒数。φ 还是偶泛函时，利用极小极大原理可以获得更多的临界值点